Sumários
Aula 3
15 março 2010, 15:00 • Joana Ventura
Ficha 2 -- derivadas parciais, matriz Jacobiana, derivada segundo um vector, diferenciabilidade.
AT11:Sumário
15 março 2010, 14:00 • Leonor Pires Marques de Oliveira Godinho
Caminhos em R^n. Vectores tangentes a um conjunto M de R^n num ponto de M. Gradiente de um campo escalar diferenciável. Perpendicularidade do gradiente de um campo escalar em relação às suas curvas de nível. Aplicações.
AT9 Diferenciabilidade num ponto para funções reais de 2 ou mais variáveis
15 março 2010, 13:00 • Roger Francis Picken
Comentários sobre o limite que aparece na definição de uma função real de duas variáveis ser diferenciável num ponto, particularmente quando o numerador desse limite é zero, ou seja, o gráfico da função é um plano em R^3. Reformulação da definição usando a notação "o-minúscula". Generalização da definição para funções reais de n variáveis.
Propriedade principal de uma função diferenciável num ponto: uma fórmula igualando a derivada da função no ponto segundo qualquer vector v com o produto interno entre o gradiente de f no ponto e o vector v. Outra propriedade: quando f é diferenciável num ponto isto implica que f é contínua nesse ponto. Assim temos 3 condições necessárias para que f seja diferenciável num ponto: 1) a existência de todas as derivadas parciais e derivadas segundo qualquer v de f nesse ponto; 2) a compatibilidade entre as derivadas de f nesse ponto, de acordo com a fórmula anterior; 3) a continuidade de f nesse ponto. Menção de exemplos anteriores onde a função falha 1) ou 2), revelando-se assim como sendo não-diferenciável num ponto. Novo exemplo de uma função que não falha 1) nem 2), mas é descontínua, revelando-se assim como sendo não-diferenciável num ponto.
AT11:Sumário
15 março 2010, 13:00 • Leonor Pires Marques de Oliveira Godinho
Caminhos em R^n. Vectores tangentes a um conjunto M de R^n num ponto de M. Gradiente de um campo escalar diferenciável. Perpendicularidade do gradiente de um campo escalar em relação às suas curvas de nível. Aplicações.