11ª aula de problemas

14 maio 2012, 09:30 • Ana Moura Santos

Exercícios das secções 5.3 (exercício 17), e 6.1 a 6.3. 

Formas na linguagem do cálculo vetorial

14 maio 2012, 08:30 • Ana Moura Santos

Equivalentes de campos de formas-0: funções escalares \(f\) avaliadas em pontos de \(R^n\). Campos de formas-1: trabalho \(W_F\) associado a um campo vetorial \(F\) sobre vetores ancorados em pontos. Exemplos: trabalho de campos vetoriais circulares, radiais, do campo gravítico. Campos de formas-2: fluxo \(\Phi_F\) associado a um campo vetorial \(F\). Exemplo dum fluxo associado a um campo vetorial "circular".

T.P.C.: 6.5.1-6.5.3, 6.5.6, 6.5.9- 6.1.11.

Orientação de variedades e parametrizações que preservam a orientação

11 maio 2012, 08:30 • Ana Moura Santos

Orientação de bases: orientação directa e indirecta. A orientação da base canónica de \(R^n\) é direta. Orientação de curvas (regulares) com um campo vetorial tangente. Exemplo dum campo tangente que orienta a circunferência unitária. Orientação de superfícies (regulares) com um campo transverso. Exemplo dum campo transverso (a normal exterior) que orienta um elipsóide.

Parametrizações que preservam e que trocam a orientação de curvas e superfícies. Exemplo de duas parametrizações para a circunferência unitária: uma que preserva e outra que troca a orientação dada por um campo tangente. Exemplo de de duas parametrizações para o parabolóide: ambas preservam a orientação dada pelo campo transverso.

Integrais de campos de formas-k sobre variedades com parametrizações que preservam a orientação. Exemplo: integral duma forma-2 através do plano \(x+y+z=1\) orientado pelo campo normal \((1,1,1)\).

 T.P.C.: 6.3.1, 6.3.3, 6.3.4, 6.3.6; 6.4.1, 6.4.3, 6.4.4.

10ª aula de problemas

9 maio 2012, 11:00 • Ana Moura Santos

Exercícios das secções 5.2 e 5.3. 

Integral de campo de formas-k sobre um domínio parametrizado

9 maio 2012, 08:00 • Ana Moura Santos

Propriedades do produto exterior: distributividade, associatividade e anti-comutatividade.

Definição de campo de formas-k, \(A^k(R^n)\). Exemplos.

Definição de integral de campo de formas-k sobre um domínio parametrizado. Exemplos: campo de formas-1 sobre uma curva parametrizada em \(R^2\), campo de formas-2 sobre uma superfície parametrizada em \(R^3\).

 T.P.C.: 6.1.8, 6.1.9, 6.1.11; 6.2.1-6.2.3, 6.2.5.