Sumários
Parametrização de variedades. Definição de espaço tangente
26 março 2012, 08:30 • Ana Moura Santos
Verificação de condições para uma parametrização duma curva regular em \(R^3\) e para uma superfície regular em \(R^3\).
Definição de espaço tangente.
T.P.C.: 3.1.11-3.1.14, 3.1.25.
Variedades regulares
23 março 2012, 08:30 • Ana Moura Santos
Definição de variedade k-dimensional regular: é localmente o gráfico duma função de classe \(C^1\). Exemplos de variedades: gráficos de funções definidas implicitamente, curvas planas e espaciais e superfícies dadas por equações (curvas e superfícies de nível). Critério para verificação duma variedade \(M\): existência duma função \({\bf F}\) de classe \(C^1\) t.q. \({\bf F ({\bf z})}={\bf 0}\), com derivada \([{\bf D(F ({\bf z})}]\) sobrejectiva para \({\bf z}\) em \(M\). Parametrizações de curvas e superfícies. Exemplo de variedade de dimensão 1 dada parametricamente: um quarto de circunferência unitária.
T.P.C.: 3.1.1-3.1.9, 3.1.21, 3.1.22.
Aula de Problemas 5
21 março 2012, 12:30 • Pedro Alexandre Marques Ramalhinho
Resolução de problemas das secções 2.8 e 2.10 (só teorema da função inversa).
Teorema da função implícita
21 março 2012, 08:00 • Ana Moura Santos
Teorema da função implícita (versão curta). Exemplo da equação \(x^2+y^ 2-1=0\), que tanto pode definir implicitamente \(x\) como uma função de \(y\) (quando \(y\) é incógnita livre), como \(y\) como uma função implícita de \(x\) (quando \(x\) é incógnita livre), dependendo da localização dos pontos sobre a circunferência unitária.
Teorema da função implícita (versão longa). Quantificação do tamanho da vizinhança de \((0,0,0,0,0)\), onde um sistema de 3 equações a 5 incógnitas define \((x,y,z)\) implicitamente como função das variáveis livres \((a,b)\).
Introdução ao conceito de variedade regular (smooth manifold). Definição de gráfico de funções vectoriais. Exemplos: parábola em \(R^2\) e parabolóide em \(R^3\) como exemplos de curva regular e superfície regular. Exemplo do gráfico de \(f(x)=|x|\) que não define uma curva regular. Torus e helicóide são superfícies regulares, mas não são globalmente gráficos de funções.
T.P.C.: 2.10.4-2.10.8.