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49ª Aula - Motivação e definição de integral de campo escalar em variedade subconjunto de variedade diferencial que não está incluído numa só vizinhança de coordenadas, com partições da unidade. Revisão do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais simples. Motivação do TFC para integrais múltiplos em domínios regulares e afirmação do TFC para integrais múltiplos ou Teorema da Divergência.
17 maio 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Motivação: A definição de integral de um campo escalar num subconjunto S de uma variedade-m M⊂ℝn que não está incluído numa única vizinhança de coordenadas envolve juntar contribuições de vizinhanças de coordenadas diferentes. Uma maneira de o fazer poderia ser particionando S em subconjuntos de modo a cada um estar contido numa vizinhança de coordenadas de M , mas isso exigiria assegurar que as fronteiras dos subconjuntos não criam problemas de integrabilidade e também exigiria provar que o integral é independente das partições possíveis. Uma outra ideia é juntar as contribuições de diferentes vizinhanças de coordenadas por somas ponderadas com funções de peso C∞ não negativas que somam 1 e têm suporte compacto incluído numa vizinhança de coordenadas, chamadas partições da unidade, o que torna a globalização de resultados locais mais fácil.
Definições:
(1) Cobertura admissível de um conjunto S⊂M , em que M é uma variedade-m em ℝn é uma cobertura ℱ de S por subconjuntos abertos de ℝn tal que M∩U é uma vizinhança de coordenadas de M para todo U∈ℱ.
(2) Suporte de função φ:S→ℝm, com S⊂ℝn designado supp φ é o fecho do conjunto em que φ é ≠0 .
(3) Partição da unidade em S⊂M subordinada a cobertura admissível de S, em que M é uma variedade-m em ℝn, a um conjunto numerável Φ={φ1,φ2, ... } de funções φj:ℝn→[0,1] C∞ tais que ∑jφj=1 em S , supp φj⊂Kj⊂U em que Kj é compacto e U∈ℱ e localmente apenas um nº finito de φj é ≠0 (i.e. ∀x∈S ∃ V⊂ℝn aberto com x∈V : V intersecta apenas um nº finito de supp φj ).
Proposição: Para qualquer conjunto S⊂M , em que M é uma variedade-m em ℝn, e cobertura admissível ℱ de S , existe partição da unidade em S subordinada a ℱ. (a provar depois).
Proposição: Se nas condições precedentes S é compacto, existe partição da unidade finita em S subordinada a ℱ
(Dem.: consequência imediata da proposição precedente e da definição de conjunto compacto).
Definições:
(1) Um campo escalar f definido em S⊂M , em que M é uma variedade-m em ℝn, é integrável se para uma cobertura admissível ℱ de S⊂M e uma partição da unidade Φ={φ1,φ2, ... } em S subordinada a ℱ ∑j ∫S∩Kj φj|f| existe e, em caso afirmativo, o integral de f em S é ∫Sf = ∑j ∫S∩Kj φjf , em que Kj é como em (3) na definição de partição da unidade.
(2) Diz-se que S⊂M é mensurável, em que M é uma variedade-m em ℝn, se a função constante igual a 1 é integrável em S e, em caso afirmativo o volume-m ou medida de S é ∫S1 . Também se considera ∅ mensurável e com medida 0 .
Proposição: Integrabilidade e integral em subconjunto de variedade diferencial em ℝn é invariante com mudança de cobertura admissível e de partição da unidade subordinada a tal cobertura. (a provar depois).
Observações:
(1) Os integrais em subconjuntos de variedades-m em ℝn têm propriedades gerais semelhantes às de integrais múltiplos e integrais de linha. O centróide de um subconjunto S de uma variedade-m define-se por integrais análogos aos de integrais múltiplos. A partir de uma densidade de uma grandeza escalar em relação a a volume m-dimensional pode ser calculada a grandeza total num subconjunto da variedade por integração da densidade, o centro dessa grandeza no subconjunto (se a densidade for de massa o centro de massa, momentos de inércia em relação a rectas, etc.).
(2) As partições da unidade são um instrumento poderoso conceptual para globalizar propriedades locais, com aplicação em outras situações. Contudo, o cálculo em casos concretos passa por
encontrar partições do tipo indicado no início e aplicar a aditividade do integral em
relação ao domínio de integração (até numerável -- σ-aditividade -- se for usado integral de
Lebesgue), legitimada pela definição de integral com partições da unidade.
(3) A ideia de partição da unidade deve-se independentemente a Jean Dieudonné e Solomon Bochner em 1937.
(4) A noção de integral em subconjuntos de variedades-m em ℝn unifica as noções anteriores de integral simples, integral múltiplo, integral de linha e integral em vizinhanças de coordenadas de variedades-m em ℝn; todas são casos particulares desta noção geral.
Revisão e motivação: Teorema Fundamental do Cálculo num intervalo de ℝ e ideia de estabelecer resultado análogo para integrais múltiplos em conjuntos abertos limitados de D⊂ℝn com fronteira ∂D que é uma variedade-(n-1) que dá a igualdade do integral múltiplo em D de uma função definida por derivadas de um campo vectorial f a um integral de uma função definida por valores de f na variedade-(n-1) ∂D.
Definição: Domínio regular em ℝn é D⊂ℝn limitado e aberto tal que qualquer que seja a∈∂D existe aberto U , com a∈U e função C1 Φ:U→ℝ tais que ∇Φ ≠0 em U , Φ=0 é equação cartesiana de ∂D em U e D∩U={x∈U: Φ(x)<0} .
Proposição: Todo domínio regular em D em ℝn, em uma normal exterior unitária única definida e contínua em ∂D ; com a notação da proposição precedente, é a função ν:∂D→ℝn tal que ν=∇Φ/||∇Φ|| .
(Dem.: Localmente ∂D é o conjunto de nível 0 de Φ , pelo que ∇Φ é ortogonal a ∂D . ν é contínua em ∂D porque é quociente de funções contínuas com denominador ≠0 . o conjunto dos vectores ortogonais a ∂D num ponto x∈∂D é um espaço linear unidimensional, pelo que tem exactamente dois vectores unitários, em sentidos opostos).
Proposição: Se D⊂ℝn é domínio regular, ∂D é uma variedade-(n-1) compacta que tem pontos
de D de um e só um dos seus lados.
(Dem.: ∂D tem equações cartesianas locais de funções escalares C1 com gradiante ≠0 que são as condições em que equações cartesianas descrevem variedades-(n-1) em ℝn. Como D é limitado, também ∂D é e como fronteiras de conjuntos são conjuntos fechados ∂D é um subconjunto limitado e fechado de ℝn, logo compacto).
Proposição: D⊂ℝn limitado e aberto é domínio regular se e só se ∂D é variedade-(n-1) compacta e ∂D = ∂D (dem. no livro).
Observação: Este resultado é local. Em ℝ2 há um importante resultado topológico global relacionado, mas difícil, que apareceu provado pela 1ª vez em 1887 no Cours d'Analyse de Camille Jordan -- o Teorema da Curva de Jordan: Uma curva simples fechada em ℝ2 é fronteira de dois conjuntos abertos conexos disjuntos, um ilimitado e outro limitado, que com a curva formam uma partição de ℝ2 (chama-se curva de Jordan a uma curva fechada simples).
Motivação: Obtenção de fórmula para Teorema Fundamental do Cálculo em domínios regulares D⊂ℝnpara campo vectorial com suporte numa vizinhança de um ponto de ∂D em que a fronteira é gráfico de uma função C1 de um aberto V⊂ℝn-1 em ℝ , observando que com translações e rotações de coordenadas é possível colocar uma vizinhança de um ponto de ∂D no espaço de modo a todos os seus pontos terem componentes positivas e a normal unitária também , e que com aplicação do TFubini e do TFCálculo para integrais simples se f é um campo vectorial C1 em D obtém-se ∫D ∂fn/∂xn= ∫∂D fnνn . Com permutações de coordenadas obtém-se da mesma maneira ∫D ∂fj/∂xj= ∫∂D fjνj para todo j=1,...,n , e somando obtém-se ∫D (∂fj/∂xj+ ··· + ∂fn/∂xn) = ∫∂Df·ν.
Definição: Chama-se divergência de um campo vectorial f com derivadas parciais num aberto D⊂ℝn a div f = ∂f1/∂x1 + ··· + ∂fn/∂xn .
Observação: A razão do nome é que o lado direito na última fórmula anterior à definição é o fluxo do campo vectorial f para fora de D através da fronteira, que, se f é um campo de velocidades em ℝ3, dá a quantidade da matéria a divergir de D por unidade de tempo.
Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais Múltiplos ou Teorema da Divergência em ℝn: Se D⊂ℝn é um domínio regular e f:D→ℝn é C1, então ∫D div f = ∫∂D f·ν .
Extremos Condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades
16 maio 2016, 14:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.
48ª Aula - Revisão de aulas anteriores. Continuação de exemplos de determinação se subconjuntos concretos de ℝn são ou não variedades diferenciais. Equivalência das 3 descrições locais de variedades-m Ck em ℝn por (1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas), (2) gráficos de funções, (3) equações cartesianas.
16 maio 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
3 modos equivalentes (a provar depois) de descrever variedades-m em ℝn localmente: ∅≠M⊂ℝn variedade-m em ℝn Ck (k∈ℕ) se ∀ a∈M ∃ U⊂ℝn aberto com a∈U tal que:
(1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas): M∩U=g(V) , com g:V→ℝn homeomorfismo Ck em V⊂ℝm aberto com rank Dg=m.
(2) gráficos de funções: M∩U=G(f) a menos de permutação de coordenadas, com f:v'→ℝn-m Ck em V⊂ℝm aberto .
(3) equações cartesianas: M∩U=F-1({0}) , com F:U→ℝn-m Ck em U com rank DF=n-m .
Exemplos: Identificação se subconjuntos de ℝ2 concretos são ou não variedades diferenciais (união de uma hipérbole com uma recta que passa na origem é variedade-1 se e só se a recta não intersecta a hipérbole e neste caso o complementar do conjunto dos pontos de intersecção na união da recta com a hipérbole é variedade-1; observação de que no 1º caso é uma variedade desconexa).
Proposição: As 3 condições locais de descrição de variedades-m em ℝn Ck (k∈ℕ) por (1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas), (2) gráficos de funções, (3) equações cartesianas, são equivalentes.
(Dem. (2) ⇒ (1) é imediata e já vista a propósito do cálculo de volumes-m de gráficos de funções.
(2) ⇒ (3) é imediata com F(x,y)=y-f(x) a menos de permutação de coordenadas.
(1) ⇒ (2) a menos de permutação de coordenadas parametrização é g=(g1,g2) com Dg1 não singular em cada ponto, e o TFunção Inversa garante que ∃ W1⊂V, W2⊂ℝm com g1(t0)∈W2 , t0∈W1 , g(t0)=a , tais que g1|W1 tem inversa g1-1:W2→W1 Ck . O gráfico de f=g2∘g1-1 é G(f)=g(W1) e como g é um homeomorfismo g-1 está definida e é contínua em M∩U , pelo que g(W1) =(g-1)-1(W1) é aberto relativamente a M∩U , e G(f)=g(W1) =M∩U∩U' com U'⊂ℝn aberto.)
Observação: Faltou só provar (3) ⇒ (2) . Prova-se um resultado útil mais geral.
Definição: Se f:S→ℝp é Ck (k∈ℕ) em S⊂ℝn e p<n , diz-se que x∈S é ponto regular de f se rank Df=p e é ponto crítico caso contrário. Às imagens de pontos crítico de f chama-se valores críticos de f ; os valores regulares de f são os outros valores assumidos por f .
Proposição: Se f:S→ℝp é Ck (k∈ℕ) em S⊂ℝn aberto e p<n, então Mc={x∈S: f(x)=c e x é ponto regular de f } = S ∩ f-1({c}) \ {x é ponto crítico de f } , quando ≠∅ é variedade-(n-p) Ck em ℝn. Em particular, se c é valor regular de f , f-1({c})∩S se ≠∅ é variedade-(n-p) Ck em ℝn.
(Dem.: ).
Observação: (3) ⇒ (2) é aplicação imediata deste resultado com F=f , p=n-m , c=0 , pois M∩U é variedade-(n-p) e n-p=n-(n-m)=m .
Extremos Condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades
16 maio 2016, 10:00 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.
Extremos Condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades
13 maio 2016, 12:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.