32ª Aula - Revisão dos principais aspectos da aula anterior. Definição de função limite superior num intervalo de ℝn e de integral (de Lebesgue) em intervalo de ℝn. Verificação de que a função de Dirichlet em [0,1] é limite superior e tem integral 0 apesar de não ser integrável à Riemann, e exemplo de função limite superior com simétrica que não é limite superior.

15 abril 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão:
(1) Definição: Integral à Riemann de f:S→ℝ limitada em S⊂ℝⁿ limitado (é o integral da extensão de f que é 0 fora de S , num intervalo limitado que contenha S).
(2) Definição: S⊂ℝⁿ mensurável à Jordan (é conjunto com ∂S de conteúdo nulo).
(3) Extensão do critério de Lebesgue para integrabilidade à Riemann: Se f:S→ℝ é limitada e S⊂ℝⁿ é mensurável à Jordan, então: f é integrável à Riemann em S ⇔ f é contínua q.t.p. em S .
(4) Todo  subconjunto de ℝⁿ é união numerável de conjuntos compactos.
(5) Funções com valores em ℝⁿ de funções C¹ num aberto de T⊂ℝⁿ têm imagens de conjuntos de medida nula com medida nula e de conjuntos de conteúdo nulo com fecho em T de conteúdo nulo.

Exemplo: 
(1) O conjunto de ordenadas O(d)⊂ℝ² da função de Dirichlet d:[0,1]→ℝ tem fronteira ∂O(d)=[0,1]², que não tem conteúdo nulo, logo O(d) não é mensurável à Jordan e ∫_O(d)1 não existe (à Riemann). 
(2) O conjunto S=O(d)∪([0,1]x[-1,0]) tem fronteira ∂S=[0,1]²∪({0,1}x[-1,0])∪([0,1]x{-1}), que não tem conteúdo nulo porque contém um conjunto que não tem conteúdo nulo, logo S não é mensurável à Jordan e  ∫_S1 não existe (à Riemann). 
(3) Contudo se f:S→ℝ é limitada e contínua em [0,1]x[-1,0] e 0 em O(d) , ∫_Sf existe (apesar de S não ser mensurável à Jordan, ∂S é a união disjunta de um conjunto de conteúdo nulo com um conjunto que não tem conteúdo nulo, mas a extensão de f para fora de S é contínua neste conjunto porque é 0 nele, pelo que o conjunto de pontos de descontinuidade dessa extensão está incluído num conjunto de conteúdo nulo e, portanto, essa extensão é integrável à Riemann num intervalo limitado que contenha S ). 

Motivação da definição do integral de Lebesgue: 
Designa-se o conjunto das funções integráveis à Riemann num intervalo limitado I⊂ℝⁿ por R(I) e as funções integráveis à Lebesgue em I por L(I) . A razão para estender R(I) a L(I) é a mesma para estender ℚ a ℝ : para que sucessões de Cauchy sejam convergentes ou seja para que o espaço seja completo. 
Considera-se o espaço linear R(I) com a norma ||f||₁=∫_I |f| , em que se identificam as funções iguais q.t.p. em I (i.e. os elementos do espaço são as classes de de funções iguais q.t.p. em I ) . R(I) não é um espaço completo, e.g. considerando I=[0,1] , d:[0,1]→ℝ a função de Dirichlet, {q_k} uma enumeração de ℚ∩[0,1] , e a sucessão de funções {d_j} que são iguais a 1 nos 1ºs j termos de {q_k}  e 0 nos outros, é tal que ||d_j-d_k||₁=∫_I |d_j-d_k|=0 , pelo que é trivialmente uma sucessão de Cauchy em R(I) que tem como limite a função de Dirichlet d∉R(I) (como existem sucessões em ℚ que convergem para 2^1/2∉ℚ ). 
Exactamente pelo mesmo processo que se pode definir ℝ completando ℚ com a norma do valor absoluto, também se pode definir L(I) completando R(I) com a norma || ||₁ . Pode ser assim definido o conjunto L(I) das funções integráveis à Lebesgue em I e integral de Lebesgue de f∈L(I) por ∫_I f=lim ∫_I f_k em que {f_k}⊂R(I) e f_k→f na norma || ||₁ . 
Contudo, opta-se por uma definição mais concreta baseada exactamente no mesmo em que se baseou a definição do integral de Riemann, aproximações por funções em escada. Como se quer definir o integral de Lebesgue mesmo em intervalos ilimitados, começa-se por definir função em escada em intervalo ilimitado.

Definições: 
(1) Função em escada em intervalo ilimitado de ℝⁿ (é função que é 0 fora de um intervalo limitado que tem restrição a esse intervalo que é uma função em escada).
(2) Função limite superior num intervalo de I⊂ℝⁿ (é função f:[0,1]→ℝ tal que ∃ sucessão {s_k} de funções em escada em I crescente e convergente para f q.t.q. em I , s_k↗f q.t.p. em I com {∫_I s_k} majorada) e integral de função limite superior (é ∫_I f=lim_k→∞ ∫_I s_k , dá o mesmo valor qualquer que seja a sucessão de funções em escada com as propriedades indicadas) . Designa-se o conjunto das funções limite superior em I por U(I) .

Exemplos: 
(1) Com a notação acima {d_k} é uma sucessão de funções em escada em [0,1] tal que d_k↗d em [0,1] e ∫_[0,1] d_k=0 , pelo que a função de Dirichlet d∈U([0,1]) e tem integral  ∫_[0,1] d=0 .
(2) Com a notação acima, se I_j=[0,1]∩[q_j-4^-j,q_j+4^-j]  considera-se D:[0,1]→ℝ que é 1 na união dos I_j  e 0 fora desta união. Analogamente obtém-se D∈U([0,1]), mas toda função em escada s≤-D q.t.p. em [0,1] satisfaz s≤-1 q.t.p. em [0,1], pelo que não existe sucessão {s_k} de funções em escada em [0,1] tal que s_k↗-D q.t.p. em [0,1] . Logo, -D∉U([0,1]) 

Observação: Pretende-se que o espaço das funções integráveis seja um espaço linear e que o integral seja uma transformação linear nesse espaço, pelo que -D deve ser integrável. A ideia para resolver o problema é trivial: considerar a expansão linear de U(I) .

Definição: Função integrável (à Lebesgue) num intervalo  I⊂ℝⁿ (é uma função f:I→ℝ tal que f=u-v com u,v∈U(I) ) e integral (de Lebesgue) de f (é ∫ _I f=∫_I u-∫_I v , que dá o mesmo valor qualquer que seja a decomposição f=u-v com u,v∈U(I) ).

Observações: 
(1) Definições de integral de Riemann de função limitada em intervalo limitado e de integral de função de U(I) , com I⊂ℝⁿ um intervalo qualquer, são semelhantes: ambas por aproximações por funções em escada, a 1ª por sup e inf de integrais de funções em escada por baixo e por cima de f , e a 2ª por limite de integrais de sucessões funções em escada por baixo crescentes e convergentes q.t.p. para f e com a sucessão de integrais majorada; a ideia geométrica de relação com volumes de aproximações por funções em escada é a mesma. A última definição até pode ser considerada mais simples do que a de integral de Riemann porque não requer a consideração de supremos e ínfimos, mas apenas a noção de limite de sucessão e, só requer adicionalmente a noção de conjunto de medida nula que é muito natural. 
(2) Interessa agora verificar que se  I⊂ℝⁿ é um intervalo, L(I) é um espaço linear, f ↦ ∫_I f é uma transformação linear de L(I) em ℝ , e se I é um intervalo limitado e f é limitada e integrável à Riemann em I , f∈L(I) , pelo que ao integral de Lebesgue de funções limitadas em intervalos limitados estende o integral de Riemann.

31ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Integral à Riemann de funções limitadas em subconjuntos limitados de ℝn que não são intervalos. Conjuntos mensuráveis à Jordan e integrabilidade nesses conjuntos. Exemplos concretos de conjuntos mensuráveis à Jordan e não mensuráveis à Jordan. Grandezas  geométricas e mecânicas definidas por integrais. Imagens de conjuntos de medida nula ou conteúdo nulo  por funções C1. Exemplos concretos de aplicação deste resultado para provar que um conjunto tem conteúdo nulo ou medida nula.

14 abril 2016, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Critério de Lebesgue para Integrabilidade à Riemann: f:I→ℝ limitada, com I⊂ℝⁿ intervalo compacto é integrável à Riemann em I se e só se f é contínua q.t.p. em I .

Definições:
(1) Integral à Riemann de função f:S→ℝ limitada em S⊂ℝⁿ limitado (é o integral da extensão de f que é 0 fora de S , num intervalo limitado que contém S).
(2) S⊂ℝⁿ mensurável à Jordan (é conjunto com ∂S de conteúdo nulo).

Proposição: Uma função f com valores reais limitada em S⊂ℝⁿmensurável à Jordan é integrável em S se e só se f é contínua q.t.p. em S. (Dem.: o conjunto de pontos de descontinuidade da extensão de f para fora de S com o valor 0 está incluído na união do conjunto de pontos de descontinuidade de f com ∂S ).

Definições:
(1) volume e centróide de conjunto S mensurável à Jordan (o volume é  ∫_S1 ).
(2) massa total, centro de massa e momento de inércia em relação a uma recta, de corpo que ocupa um conjunto S⊂ℝⁿ com densidade de massa por volume dada por uma função f integrável em S (análogo para qualquer outra grandeza escalar especificada por densidade por volume, e.g. densidade de carga eléctrica).

Exemplos: 
(1) Se S é o conjunto de ordenadas da função de Dirichlet em [0,1] , S não é mensurável à Jordan pois ∂S=[0,1]² que não tem conteúdo nulo, e a função f=1 definida em S não é integrável porque a sua extensão =0 fora de S é descontínua em [0,1]²; a função g=0 definida em S é integrável em S porque a sua extensão =0 fora de S é contínua em ℝ², logo em [0,1]², e ∫_S g = 0 , apesar de S não ser mensurável à Jordan. 
(2) R:[0,1]→ℝ tal que R=0 em nos nºs irracionais e nos racionais R(x)=1/q se x∈ℚ com x=p/q em termos mínimos, p∈ℤ, q∈ℕ, (chama-se função de Riemann, mas tem vários outros nomes) é descontínua nos racionais e contínua nos irracionais. É contínua q.t.p. em [0,1]. Logo, é integrável. O integral inferior de R é 0, como R é integrável calcula-se ∫₀¹R = 0 .

Observação: Este exemplo mostra que há funções reais de variável real contínuas nos irracionais e descontínuas nos racionais (mas é impossível uma função ser contínua nos racionais e descontínua nos irracionais).

Proposições:
(1) Todo T⊂ℝⁿ é uma união numerável de subconjuntos compactos de T. (Dem.: Se T é aberto considera-se a união dos compactos que consistem nos pontos a distância j de 0 e 1/j de ∂T. ∂T é um conjunto fechado que é a união numerável dos compactos que são os seus subconjunto a distância i de 0).
(2) Se g:T→ℝⁿ é C¹ e T⊂ℝⁿ é aberto, então:
     (a) B⊂T tem medida nula ⇒ g(B) tem medida nula. (Dem. 1º para B compacto, com T. de Lagrange para controlar a expansão máxima de volumes de intervalos, depois aplicar (1)).
     (b) B tem conteúdo nulo e B⊂B⊂T ⇒ g(B) tem conteúdo nulo. (Dem. O fecho de B tem conteúdo nulo, logo é limitado e, portanto, compacto, pelo que a sua imagem por g é compacto e de (a) tem medida nula, e consequentemente também conteúdo nulo, e contém g(B)).

Exemplos: Casos concretos de determinação que um conjunto tem conteúdo ou medida nula por ser imagem por uma função C¹ de um conjunto de conteúdo ou medida nula.

Fichas 6 e 7.

14 abril 2016, 08:30 • António Manuel Atalaia Carvalheiro Serra

Fichas 6 e 7.

30ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Condições que garantem continuidade da inversa de uma função contínua injectiva. Intervalos em ℝn não têm medida nula, o conjunto dos seus pontos com todas componentes irracionais também não e o conjunto dos seus pontos com uma componente racional tem medida nula. Gráficos de funções com valores reais contínuas em conjuntos compactos têm conteúdo nulo. Definição de "quase em toda a parte". Critério de Lebesgue para  integrabilidade à Riemann.

12 abril 2016, 11:30 • Luis Magalhães

 Revisão:

Se f:K→ℝ^m é contínua num conjunto compacto K⊂ℝⁿ, então:
(1) Teorema de Heine-Cantor: f é uniformemente contínua.
(2) f(K) é compacto.
(3) Se f é injectiva, então f é aplicação aberta (transforma abertos relativamente a K em abertos relativamente a f(K)) e f-1 é contínua.
Definições: Conteúdo nulo e medida nula de conjunto A⊂ℝⁿ.

Exemplo: Função contínua injectiva de subconjunto de ℝ² em ℝ² tal que a inversa não é contínua com transformação de coordenadas polares para cartesianas.

Proposição: Se f:I→ℝ é contínua e injectiva em I⊂ℝ , então f é aplicação aberta e f^-1 é contínua.

Observação: Viram-se até agora 3 condições que garantem que uma função contínua injectiva é uma aplicação aberta e a inversa é contínua, em termos de ideias muito diferentes: 
(1) Hipótese do Teorema da Função Inversa com a função diferenciável de um subconjunto aberto de ℝⁿ em ℝⁿ com matriz jacobiana contínua e jacobiano ≠0 num ponto dá condição válida localmente (e até garante a existência de inversa local diferenciável); 
(2) A função ser de um subconjunto compacto de ℝⁿ em ℝ^m.
(3) A função ser real de variável real definida num intervalo.
A 1ª está associada à existência de plano tangente que varia continuamente e à invertibilidade da derivada com igual dimensão do espaço que inclui o domínio e o contradomínio, a 2ª não envolve condições de diferenciabilidade nem igualdade de dimensão do espaço que contém o domínio e o que contém o contradomínio e, em contrapartida, envolve compacidade do domínio: a 3ª está associada à ordenação de ℝ .

Observação: Na definição de conteúdo nulo ou medida nula é indiferente usar coberturas por intervalos abertos, fechados ou nem fechados nem abertos, pois as fronteiras dos intervalos têm conteúdo nulo. Em casos concretos usa-se o que for mais conveniente.

Exemplos: Intervalos em ℝⁿ não têm medida nula, o conjunto dos seus pontos com todas as componentes irracionais também não e o conjunto dos seus pontos com pelo menos uma componente racional tem medida nula.

Observação: Tanto racionais como irracionais de um intervalo real são densos no intervalo, mas os 1ºs são numeráveis e os 2ºs inão, e os 1ºs têm medida nula e os 2ºs não.

Proposição: Gráficos de funções com valores reais contínuas em conjuntos compactos têm conteúdo nulo.

Definição: Diz-se que uma propriedade verifica-se q.t.p. em S⊂ℝⁿ, ou seja quase em toda a parte em S, se é válida em S excepto possivelmente num conjunto de medida nula.

Critério de Lebesgue para Integrabilidade à Riemann: f:I→ℝ limitada, com I⊂ℝⁿ intervalo compacto é integrável à Riemann em I se e só se f é contínua q.t.p. em I .

Proposição: Uma função real de variável real monótona (em sentido lato) num intervalo compacto é contínua q.t.p. (Dem: Mostra-se que a função é integrável à Riemann e aplica-se o critério de integrabilidade anterior). Observação: Pode-se provar que o conjunto de pontos de descontínuidade é numerável.

Mudança de Variáveis de Integração. Regra de Leibniz

11 abril 2016, 14:30 • Helena Mascarenhas

Resolução de exercícios