Sumários
38ª Aula - Revisão dos principais aspectos da aula anterior. Exemplo de regra de derivação de função definida por integral com dependência da variável no extremo de integração e na função integranda. Teoremas de Fubini e de Tonelli. Revisão da mudança de variáveis de integração em dimensão 1 e motivação para várias variáveis com transformações de volumes de paralelepípedos por transformações lineares. Enunciado do Teorema de Mudança de variáveis de integração para integrais múltiplos.
28 abril 2016, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Integrais paramétricos F(y)=∫Af(x,y) dx : condições para continuidade e para existência de derivadas parciais e troca de derivadas com o integral (Regra de Leibniz); as naturais para aplicação do TCD Lebesgue a sucessões de funções associadas à continuidade ou à existência de derivada parcial.
(2) Função Gamma Γ(y)=∫0+∞e-xxy-1dx, para y>0 . Γ é C∞, Γ ''(y)>0, Γ(y+1)=yΓ(y) para y>0, Γ(1)=1 . Logo, Γ(n+1)=n! .
Exemplo: Regra de derivação de F(y) = ∫ag(y) f(x,y) dx , com x, y, g(y), f(x,y) reais. Com G(z,y) = ∫az f(x,y) dx é F(y)=G(g(y),y) . Da regra da cadeia: F ' (y) = f(g(y),y) g'(y) + ∫ag(y) (∂f/∂y)(x,y) dx desde que x↦f(x,y) seja contínua e ∂f/∂y, ∫ag(y) (∂f/∂y)(x,y) dx existam.
Proposição: Se S⊂ℝmxℝp tem medida nula, então as secções Sx={y∈ℝp: (x,y)∈S} e Sy={x∈ℝm: (x,y)∈S} têm medida nula q.t.p, resp., para x∈A e y∈B .
Teorema de Fubini: Se A⊂ℝm, B⊂ℝp são intervalos e f∈L(AxB) , então ∫AxBf = ∫A∫B fx dx = ∫B∫A fy dy , em que todos estes integrais existem, com fx(y)=f(x,y), fy(x)=f(x,y).
Teorema de Tonelli: Se A⊂ℝm, B⊂ℝp são intervalos, f∈M(AxB) , e pelo menos um dos integrais iterados ∫A∫B|fx|dx=∫B∫A|fy|dy existe, então f∈L(AxB) .
Observações:
(1) O Teorema de Fubini é muito mais geral neste contexto de integrais de
Lebesgue do que de integrais de Riemann, e é mais simples.
(2) O Teorema de Tonelli, permite verificar a integrabilidade de funções
mensuráveis simplesmente pela existência de integrais iterados dos valores
absolutos das funções.
Revisão:
(1) Mudança de variáveis de integração em ℝ : Consequência imediata da regra
de derivação da função composta: ∫Xf = ∫g-1(X) (f∘g) |g'| desde que X seja um intervalo de ℝ , f seja contínua em X e g seja uma bijecção C1 de intevalo g-1(X) em X .
(2) Transformação de volumes de parelepípedos em ℝn por transformação linear T:ℝn→ℝn com representação matricial A na base canónica de ℝn: volnP(T(v1),...,T(vn)) = | det [Av1⋯ Avn] | = | det A[v1⋯ vn] | = |det A| |det [v1⋯ vn] | = |det A| volnP(v1,...,vn) (o volume é multiplicado por |det A| ).
Observação: em várias variáveis |g'| na mudança de variáveis é substituída pelo valor absoluto do jacobiano | det Dg |
Definições:
(1) Função C1 num conjunto T⊂ℝn não aberto é função para que existe extensão C1 num aberto que contém T.
(2) Transformação de coordenadas em T⊂ℝn é função g:T→ℝn, injectiva C1 com derivada injectiva.
Teorema de mudança de variáveis de integração em ℝn: Se T⊂ℝn é aberto, g é uma transformação de coordenadas em T , X⊂g(T) é mensurável e f∈L(X) , então ∫Xf = ∫g-1(X) (f∘g) | det Dg | .
Ficha "Integrabilidade e convergência".
28 abril 2016, 08:30 • António Manuel Atalaia Carvalheiro Serra
Ficha "Integrabilidade e convergência".
37ª Aula - Revisão dos principais aspectos da aula anterior. Aditividade-σ do integral (de Lebesgue) em relação ao domínio de integração. Funções definidas por integrais (integrais paramétricos): condições para continuidade e diferenciabilidade (regra de Leibniz: troca de derivada com integral). Exemplo com a função Gama.
26 abril 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Os teoremas de convergência (TCM Levi e TCD Lebesgue) dão condições fáceis para troca de limite com integral e de série com integral (com integral de Riemann são necessárias condições mais fortes e, em geral, mais difíceis de verificar).
(2) Se ∅≠T⊂S são mensuráveis, então f∈L(S) ⇒ f∈L(T) .
(3) Se ∅≠S⊂ℝn é mensurável, então f∈L(S) ⇔ |f|∈L(S) .
(4) Método útil para provar f∈L(S) com ∅≠S⊂ℝn mensurável: (1º) verifica-se que f∈M(S) , (2º) domina-se |f|h∈L(S) .
Aditividade-σ (ou numerável) do integral em relação ao domínio de integração: Se S1,
S2, ⋯ ⊂ℝn são mensuráveis e
disjuntos dois a dois, S=∪kSk e f:S→ℝ , então:
(1) f∈L(Sk) , k∈ℕ , e ∑∞k=1 ∫Sk|f| converge ⇒ f∈L(S) ,
(2) f∈L(S) ⇒ f∈L(Sk) , k∈ℕ ,
em ambos os casos ∫Sf = ∑∞k=1 ∫Skf .
Observação: Aditividade-σ é imediata com integral de Lebesgue sob condições muito gerais (que garantam a troca da série com o integral) e falha com integral de Riemann.
Motivação: Continuidade e derivação de funções definidas por integrais (i.e. integrais paramétricos) como questões de convergência de sucessões.
Proposições:
(1) Se A⊂ℝm, ∅≠B⊂ℝp, f:AxB→ℝ , fy∈M(A) para y∈B , |fy|≤h∈L(A) q.t.p. em A
, fx é contínua
em B para x∈A , então F(y) = ∫Af(x,y)dx está definida e
é contínua em B .
(2) Regra de Leibniz: Se A⊂ℝm, ∅≠int B⊂ℝp, f:AxB→ℝ , fy∈L(A) para y∈B , ∂f/∂yi(x,y) existe q.t.p. em A , |(∂f/∂yi)y| ≤ h∈L(A) para y∈int B , então F(y)
= ∫Af(x,y)
dx está definida em B , ∂F/∂yi existe em int B , e ∂F/∂yi(y) = ∫A∂f/∂yi(x,y) dx .
(3) Se A⊂ℝm é compacto, ∅≠B⊂ℝp e f:AxB→ℝ é contínua,
então F(y) = ∫Af(x,y)dx está definida e
é contínua em B.
(4) Se A⊂ℝm é compacto, ∅≠B⊂ℝp é aberto, f:AxB→ℝ é contínua
, ∂f/∂yi existe e é
contínua em AxB , então F(y) = ∫Af(x,y) dx tem derivada
contínua ∂F/∂yi em
B , e ∂F/∂yi(y) = ∫A∂f/∂yi(x,y) dx .
Observação: Com integral de Riemann a continuidade e a troca de derivada com integral em integrais paramétricos exige condições mais restritas.
Exemplo: Definição, continuidade, diferenciabilidade e derivadas de ordem arbitrária da função Gama Γ, propriedades Γ(y+1) = y Γ(y) > 0 e Γ '(y) > 0 para y>0 e Γ(1) = 1 , logo Γ(m)=(m-1)! para m∈ℕ e, portanto, a função Gama é uma função convexa que é uma extensão C∞ do factorial de nºs naturais a ]0,+∞[ e satisfaz uma relação de recorrência análoga; assume um mínimo 0<m<1 em ]1,2[ e satisfaz m/y < Γ(y) <1/y para 0<y<1 , pelo que Γ(y)→+∞ quando y→0+ (em particular, Γ∉L([0,1]) ).
Ficha "Integrabilidade e convergência".
22 abril 2016, 12:30 • António Manuel Atalaia Carvalheiro Serra
Ficha "Integrabilidade e convergência".