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15ª Aula - Derivadas segundo vectores e direccionais. Curvas. Descrição geométrica de gradiante de um campo escalar. Equações cartesianas de planos tangentes a conjuntos de nível de campos escalares com derivada diferente de 0 no ponto de tangência.
11 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Definições: Derivada de uma função f num
ponto a segundo um vector v≠0, f´(a;v)
e derivada direccional na direcção de v, f´(a;v/||v||)
.
Proposições:
(1) f´(a;v) para v≠0 existe se e só se a
derivada direccional de f na direcção de v existe,
e em caso afirmativo f´(a;v)=||v|| f´(a;v/||v||)
.
(2) Se f é diferenciável num ponto a e v≠0,
então f´(a;v) = [f´(a)](v) = Df(a)v (para campo escalar f´(a;v) = [f´(a)](v) = Df(a)v=∇f(a)·v ).
Exemplos: Campo escalar em ℝ2 com derivada em 0 segundo qualquer vector v≠0 e descontínuo em 0, logo não diferenciável em 0 ; idem com restrição a ℝ2\{0} racional.
Definições: Curva num subconjunto de ℝn; vector tangente a curva; vector ortogonal a
curva.
Descrição geométrica: Gradiante de campo escalar f:D→ℝ diferenciável em a∈int D⊂ℝn: ∇f(a)∈ℝn ⊥ curva de nível no ponto a , com o sentido para onde f cresce e comprimento igual à derivada direccional de f em a na direcção do vector em que a derivada direccional em a é máxima.
Se f é diferenciável no ponto a , a derivada direccional na direcção de um vector v≠0 é + ou - o comprimento da projecção ortogonal de ∇f(a) sobre v conforme v aponta para onde f cresce ou decresce.
Equação cartesiana de plano-(n-1) tangente a conjunto de nível de campo escalar f:D→ℝ com derivada ≠0 em a∈int D⊂ℝn: ∇f(a)·(x-a)=0 . Plano-n tangente em (a,f(a)) a gráfico de campo escalar f:D→ℝ diferenciável em a∈int D⊂ℝn é plano-n tangente a conjunto de nível de F(x,z)=z-f(x) em (a,f(a)) , pelo que tem equação cartesiana: ∇F(a,f(a))·(x-a,z-f(a))=0 ⇔ (-∇f(a),1)·(x-a,z-f(a))=0 ⇔ -∇f(a)·(x-a)+(z-f(a))=0 (é o conjunto dos pontos (x,z)∈ℝnxℝ que satisfazem esta equação).
Exemplo: Determinação de linhas de nível e gradiante em ponto a de linhas de nível de campo escalar concreto definido em ℝ2 com derivada ≠0 em a∈ℝ2.
14ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Para um campo escalar ou vectorial ser diferenciável num conjunto aberto é suficiente dque seja C1 nesse conjunto. Derivadas parciais de 2ª ordem. Exemplos concretos de aplicação com funções de duas variáveis reais. Motivação e enunciado de teorema de valor intermédio com derivadas parciais de 2ª ordem.
10 março 2016, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão: Teorema de Lagrange para campos escalares f num segmento de recta contido no interior do dominio de diferenciabilidade de f (não é válido para campos vectoriais!). Aplicação a provar: (1) campos escalares ou vectoriais f com derivada 0 são constantes em segmentos de recta contidos no interior do domínio de f ; (2) Para campos escalares ou vectoriais f diferenciáveis num conjunto aberto D convexo ou conexo por poligonais, f´=0 em D ⇔ f é constante em D .
Proposição: Uma condição suficiente para um campo escalar ou vectorial ser diferenciável num conjunto aberto é que seja C1 (i.e. todas derivadas parciais de 1ª ordem existem e são contínuas) nesse conjunto.
Exemplo: Aplicação deste resultado para garantir a diferenciabilidade de um campo escalar concreto definido em ℝ2.
Definição: Derivadas parciais de 2ª ordem (notações ∂2f/(∂xi∂xj)=(∂/xi)(∂f/∂xj)(x1,...,xn) , Dijf=Di(Djf)(x1,...,xn) , i,j=1,...,n ; a notação antiga era com a ordem inversa e ainda há quem hoje em dia use essa notação).
Exemplos:
(1) Cálculo de todas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem de campo escalar polinomial concreto em ℝ2 e observação que derivadas cruzadas de 2ª ordem são iguais.
(2) Exemplo da extensão por continuidade de um campo escalar racional de duas variáveis reais concreto a ℝ2 que tem derivadas parciais de 2ª ordem diferentes num ponto.
Observação: Interessa ter condição suficiente simples que garanta igualdade de derivadas parciais de ordem superior a 1 co ordens das mesmas variáveis diferentes (para uma derivada parcial de ordem k em relação a variáveis diferentes há k! derivadas cruzadas com as mesmas variáveis; é útil calcular só uma e saber que as outras são iguais). Para obter este resultado é útil um teorema de valor intermédio com derivadas parciais de 2ª ordem.
Enunciado de Teorema de valor intermédio em ℝ2 com derivadas parciais de 2ª ordem: Se f:D→ℝ, D⊂ℝ2 é aberto, a=(a1,a2)∈D, h=(h1,h2)∈ℝ2, Rh=[a1,a1+h1]x[a2,a2+h2]⊂D , D21f existe em D , então ∃c∈int Rh: [f(a1+h1,a2+h2) - f(a1+h1,a2)] - [f(a1,a2+h2) - f(a1,a2)] = D21f(c)h1h2 .
Observação: Dem, envolve duas aplicações do Teorema de Lagrange e regra de derivação da função composta, tudo em 1 variável (fica para fazer os detalhes na aula de 2ª feira).