Sumários
3ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Continuação de noções topológicas em ℝn
18 fevereiro 2016, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão dos aspectos principais da aula anterior.
Definição: Ponto isolado (∃R>0BR(a)∩D={a}) e ponto de acumulação (a∈D não é ponto isolado de D) de D⊂ℝn. D´=conjunto dos pontos de acumulação de D .
O conjunto dos pontos isolados de D é D\D´.
Proposição: Se D⊂ℝn, então: (1) D´⊂D (2) D´=D´; (3) D\D´=D\D´⊂∂D .
Proposição: Se D⊂ℝn é finito e D≠∅, então D´=∅≠D=D=∂D (todos os pontos de D são isolados).
Proposição: Se D⊂ℝn, então: (1) a∈D´⇔ ∀R>0BR(a)∩D é infinito; (2) a∈D´⇔ a∈D\{a}; (3) D=D∪D´.
Exemplos com D⊂ℝ de determinação de int D, ∂D, ext D, D, D´, pontos isolados de D, se D é aberto, se D é fechado (incluindo D=ℕ, D=ℚ, D=\ℚ), e exemplos análogos com D⊂ℝ2.
Definições: (1) normas equivalentes; (2) normas ||x||1=Σj|xj| , ||x||2=||x||=(Σj|xj|2)1/2, ||x||∞=maxj|xj|, para x=(x1,...,xn)∈ℝn.
Proposições: (1) as noções de interior, exterior, fronteira, fecho, ponto de acumulação, conjunto aberto, conjunto fechado são invariantes sob normas equivalentes. (2) ||x||∞≤
||x||2 ≤ ||x||1 ≤ n||x||∞, para x∈ℝn.
2ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Continuação de noções topológicas em ℝn
16 fevereiro 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão das noções principais da aula anterior.
Observação: As noções topológicas introduzidas foram definidas com base na noção de bola aberta. Usou-se a distância entre pontos definida pela norma canónica de ℝn (quando não se explicita a norma, considera-se a canónica), mas pode ser usada outra norma (tem de ser explicitado qual) e as noções também podem ser consideradas com uma distância que não seja compatível com qualquer norma, e até com uma distância definida num espaço não linear.
Proposições:
(1) Br(a)⊂ℝn, com r>0, é conjunto aberto;
(2) Para D⊂ℝn, int D é aberto, ext D é aberto, ∂D é
fechado, D é fechado;
(3) para D⊂ℝn, int D é o maior aberto contido em D, ext D é o
maior aberto contido em ℝn\D, D é o menor fechado que contém
D ;
(4) uniões (numeráveis ou não) de subconjuntos abertos de ℝn, são conjuntos abertos, intersecções (numeráveis
ou não) de subconjuntos fechados de ℝn, são conjuntos fechados;
(5) intersecções finitas de subconjuntos abertos de ℝn são conjuntos abertos, uniões finitas de
subconjuntos fechados de ℝn, são conjuntos fechados.
Proposição: ℝn e ∅ são subconjuntos de ℝn abertos e fechados; são os únicos subconjuntos de ℝn abertos e fechados.
Contraexemplos: infinitos conjuntos abertos com intersecções de cada um dos
casos: (1) conjunto fechado, (2) conjunto aberto, (3) conjunto
nem aberto nem fechado.
Exemplos: determinação de int D, ext D, ∂D, D e identificação
de conjuntos abertos, conjuntos fechados, conjuntos nem abertos nem fechados
para conjuntos concretos D⊂ℝ2 ou D⊂ℝ3.
1ª Aula - Apresentação da disciplina. Noções topológicas em ℝn
15 fevereiro 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Apresentação da disciplina.
Definições: (1) bola aberta de centro em a∈ℝn e raio r>0 é Br(a)={x∈ℝn: ||x-a||<r} em ℝn (dada uma norma em ℝn); (2) a∈ℝn é ponto interior de D⊂ℝn se ∃ Br(a)⊂D ; (3) a∈ℝn é ponto exterior de D⊂ℝn se é ponto interior de ℝn\D ; (4) a∈ℝn é ponto fronteiro de D⊂ℝn se não é ponto interior nem ponto exterior de D ; (5) conjunto interior, exterior, fronteiro de D⊂ℝn é o conjunto dos pontos, resp., interiores, exteriores, fronteiros de D ; é designado, resp., int D, ext D, ∂D .
Proposição: Seja D⊂ℝn. int D={x∈ℝn: ∃r>0: Br(a)⊂D}, ext D={x∈ℝn: ∃r>0: Br(a)⊂ℝn\D}, ∂D={x∈ℝn: ∀r>0: Br(a)∩D≠∅, Br(a)∩(ℝn\D)≠∅} .
Proposições: Seja D⊂ℝn; (1) {int D, ∂D, ext D} é uma partição de ℝn; (2) int ℝn\D=ext D, ext ℝn\D=int D .
Definições: (1) fecho de D⊂ℝn é D=(int D)∪∂D ; (2) D⊂ℝn é conjunto aberto se D=int D ; (3) D⊂ℝn é conjunto fechado se D=D .
Proposição: Seja D⊂ℝn. D={x∈ℝn: Br(a)∩D≠∅ ∀r>0}.
Proposição: Seja D⊂ℝn. D é fechado ⇔ ℝn\D é aberto; D é aberto ⇔ ℝn\D é fechado.
Exemplos: Determinação de int D, ext D, ∂D, D, e identificação de conjuntos abertos, conjuntos fechados, e conjuntos nem abertos nem fechados em exemplos concretos com D⊂ℝ2.