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Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal
9 maio 2016, 14:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.
44ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Definição de campo vectorial fechado. Necessidade e insuficiência de campo vectorial C1 ser fechado para ser gradiante. Definição de conjunto em estrela. Em subconjuntos abertos em estrela de Rn um campo vectorial C1 é gradiante se e só se é fechado.
9 maio 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Definição: Diz-se que S⊂ℝn é desconexo se ∃ S1,S2⊂S abertos relat. a S , S1,S2≠∅ tais que S=S1∪S2 ; em caso afirmativo, chama-se a {S1,S2} uma separação de S . Diz-se que S é conexo se não é desconexo. Diz-se que S é conexo por arcos se ∀ a,b∈S ∃ caminho em S com a,b , resp., pontos inicial e final.
(2) Se S⊂ℝn é conexo por arcos ⇒ S é conexo.
(3) Se S⊂ℝn é aberto, então: S é conexo ⇔ S é conexo por arcos.
(4) Existem subconjuntos de ℝn conexos que não são conexos por arcos.
(5) Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais de linha: Seja S⊂ℝn aberto e conexo, a,b∈S e f:S→ℝn contínua. Então:
(a) Se f=∇φ em S e g é um caminho seccionalmente C1 em S com ponto inicial a e ponto final b , então ∫ab∇φ·dg = φ(b) - φ(a) (e consequência, ∇φ é um campo conservativo em S ).
(b) Se f é um campo vectorial conservativo em S e φ:S→ℝ é tal que φ(x) = ∫axf·dg , em que g é um caminho C1 em S com ponto inicial a e ponto final x , então ∇φ=f em S .
(6) Se S⊂ℝn é aberto e conexo, e f:S→ℝn é contínua, as afirmações seguintes são equivalentes:
(a) f é gradiante em S .
(b) f é conservativo em S .
(c) integrais de f em caminhos fechados seccionalmente C1 em S são 0 .
Definição: Diz-se que f=(f1,...fn):S→ℝn é fechado em S⊂ℝn se as derivadas parciais de 1ª ordem de f existem em S e Difj=Djfi em S para i,j=1,...,n .
Observação: f:S→ℝn é fechado em S ⇔ matriz jacobiana Df existe e é simétrica em S .
Proposição: Para f:S→ℝn C1 num conjunto aberto S⊂ℝn ser gradiante em S é necessário que seja fechado em S . (dem.: aplicar o lema de Schwarz a f=∇φ ).
Observação: Esta condição não é suficiente, mesmo que S seja conexo.
Exemplo: Campo vectorial conservativo em S⊂ℝn aberto conexo que não é gradiante ( f:S→ℝ2, com S=ℝ2\{(0,0)} , tal que ||f(x,y)||=1/||(x,y)|| e f(x,y)⊥(x,y) . O integral de f sobre cada caminho regular simples que descreve um circunferência com centro na origem no sentido antihorário em relação à origem é 2π≠0 , logo, f não é conservativo em S=ℝ2\{(0,0) mas com θ(x,y) o ângulo polar de (x,y) é f=∇θ em T=ℝ2\{(x,0): x>0} embora não fora deste conjunto pois θ é descontínua e, consequentemente, não tem gradiante nesses pontos. θ C∞ em T , pelo que f é um campo fechado em T , e com θ*(x,y)=arctan(y/x) é f=∇θ* em T*={(x,y): x>0, y∈ℝ} com θ C∞ em T*, pelo que f é um campo fechado em T*; logo, f é um campo C∞ fechado em S que não é gradiante em S, pois se fosse so TFC f seria conservativo. Verifica-se f(x,y) = (1/||(x,y)||2)(-y,x) = ( -y/(x2+y2) , x/(x2+y2) ) .
Observação:
(1) O que é essencial neste exemplo é que existem curvas fechadas que limitam uma parte do plano em que nem todos os pontos pertencem ao conjunto em que o campo vectorial C1 é fechado. Retirando ao conjunto qualquer curva simples que comece na origem e vá para ∞ já se obtém um conjunto em que f é gradiante.
(2) Interessa ter condições em conjuntos conexos que garantam que um campo C1 fechado é gradiante (logo, conservativo). Ver-se-á depois do TFC para integrais múltiplos que tal pode ser assegurado em subconjuntos de ℝ2 tais que não pode acontecer o que se referiu na observação anterior relativamente ao aspecto essencial do exemplo, mas podemos dar uma condição mais forte no conjunto que assegura equivalência entre um campo C1 ser fechado e gradiante
Definição: Diz-se que S⊂ℝn é um conjunto em estrela se existe p∈S tal que os segmentos de recta com uma extremidade p e outra extremidade em qualquer outro ponto de S estão contidos em S .
Observação: Os conjuntos convexos são conjuntos em estrela, mas há conjuntos em estrela não convexos.
Proposição: Se S⊂ℝn é um conjunto aberto em estrela e f:S→ℝn é C1, então: f é gradiante em S ⇔ f é fechado em S . (dem.: considerar a função candidata a potencial φ com valor φ(x)=∫pxf·dg em que g é um caminho regular simples que descreve o segmento de recta de p a x , calcular ∇φ susando a regra de Leibniz, a regra da cadeia, f ser fechado e o TFC para integrais simples, para verificar que ∇φ=f ).
Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal
9 maio 2016, 10:00 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.
Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal
6 maio 2016, 12:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.