5ª Aula - Continuação de exemplos de representações geométricas de campos escalares por gráficos e conjuntos de nível. Definição de limite e continuidade de campos escalares e vectoriais e propriedades básicas.

22 fevereiro 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Exemplos: Representações gráficas de campos escalares em ℝ² por gráficos e por conjuntos de nível.

Definição: Limite de campo escalar ou vectorial f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, num ponto a do fecho do domínio D : lim_x→af(x)=b se ∀_ε>0∃_δ>0 f(B_δ(a)∩D)⊂B_ε(b) . (mesmo que ∀_ε>0∃_δ>0 ||x-a||<δ e x∈D ⇒ ||f(x)-b||<ε ).

Observação: Na definição é essencial considerar explicitamente que o ponto pertence ao fecho do domínio (caso contrário não estaria a definir nada porque a implicação seria sempre verdadeira). 

Proposições: Seja f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ e a ∈D, f=(f₁, ... ,f_m) . 
(1)  lim_x→af(x)=b ⇔ lim_x→a||f(x)-b||=0 (limite de campo escalar); 
(2) lim_x→af(x)=b=(b₁, ..., b_m) ⇔ lim_x→af_j(x)=b_j , j=1, ...,m .

Observação: Limites de campos vectoriais reduzem-se a limites de campos escalares.

Definições: Um campo escalar ou vectorial f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é contínuo em a∈D se lim_x→af(x)=f(a) ; é contínuo em S⊂D se é contínuo em todo  a∈S .

Proposição: Um campo vectorial é contínuo num ponto se e só se os campos escalares componentes são contínuos nesse ponto.

Topologia. Limites. Continuidade

22 fevereiro 2016, 10:00 • Helena Mascarenhas

Resolução de exercícios. 1º Miniteste.

Ficha 1.

19 fevereiro 2016, 12:30 • António Manuel Atalaia Carvalheiro Serra

Ficha 1.

Topologia. Limites. Continuidade

19 fevereiro 2016, 12:30 • Helena Mascarenhas

Resolução de exercícios.

4ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Sucessões e limites de sucessões em ℝn. Campos escalares em ℝn e representações gráficas de campos escalares

19 fevereiro 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão dos aspectos principais da aula anterior.

Representação gráfica de bolas abertas nas normas ||x||_∞, ||x||, ||x||₁  em ℝ² e em ℝ³.  

Observações: 
(1) (||x||_p=[|x₁|^p+ ... +|x_n|^p)^1/p, para x=(x₁, ... ,x_n)∈ℝⁿ, com p∈[1,+∞[, é norma em ℝⁿ, ||x||_∞≤||x||_q≤||x||_p para x∈ℝⁿ,1≤p<q, e a distância associada é d_p(x,y)=[|x₁-y₁|^p+ ... +|x_n-y_n|^p)^1/p, mas não é norma para p∈]0,1[ (não satisfaz a desigualdade triangular).
(2) Definição: distância num conjunto X é d:X²&rarrow;[0,+∞[ tal que: (i) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈X; (ii) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈X; (iii) d(x,y)>0⇔x≠y ∀x,y∈X).
(2) Contudo, (d_p)^p para p∈]0,1[ é distância em ℝⁿ. 
(3) Representação gráfica de bolas abertas nas normas||x||_p, x∈ℝⁿ, p∈[1,+∞[, p∈ℝ, e nas distâncias (d_p)^p em ℝⁿ.

Definições: (1) sucessões em D⊂ℝⁿ; (2) limite de sucessão em ℝⁿ.

Proposições: 
(1) Convergência de sucessão em ℝⁿ para ponto a ⇔ convergência das sucessões correspondentes das componentes em ℝ para o valor da respectiva componente de a ; 
(2) Se D⊂ℝⁿ, a∈ℝⁿ, então  existe sucessão em D que converge para a ⇔ a pertence ao fecho de D ; 

(3) Se D⊂ℝⁿ, então os limites das sucessões em D convergentes são pontos de D ⇔ D é fechado;
(4) Se D⊂ℝⁿ, a∈ℝⁿ, então  existe sucessão em D\{a} que converge para a ⇔ a é ponto de acumulação de D .

Exemplo: Caso concreto de sucessão e cálculo de limite de sucessão em ℝ³.

Definições: (1) Campos escalares e campos vectoriais em ℝⁿ. (2) Gráficos e conjuntos de nível de funções.

Exemplo: Representação gráfica de campo escalar em ℝ² por gráfico e por conjuntos de nível.