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22ª Aula - Revisão dos principais aspectos das duas aulas anteriores. Teorema da Função Inversa: afirmação e início da demonstração.
29 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Em ℝn, sucessão {uk} converge {uk} ⇔ é sucessão de Cauchy (ℝn com a norma canónica é um espaço normado completo).
(2) x é solução de f(x)=y ⇔ x é ponto fixo da função definida por Qy(x)=x-f(x)+y .
(3) Teorema de Contracção: Um contracção num subconjunto fechado de ℝn tem um único ponto fixo no conjunto (é o limite de sucessões obtidas aplicando repetidamente a contracção a partir de um ponto qualquer do conjunto, a qual converge exponencialmente).
(4) Existência de inversa local: Se f:S→ℝn, S⊂ℝn é aberto, f é diferenciável em S, Df é contínua em a∈S, Jf(a)≠0 , então ∃ aberto X⊂S com a∈X tal que f|X tem inversa. (ou seja a equação f|X(x)=y tem solução única para y∈f(X) ).
(5) Podem ser satisfeitas as condições em todos pontos de S e não haver inversa global (se as condições são satisfeitas num intervalo S⊂ℝ , a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente em S e, portanto, tem inversa global em S ).
(6) Se (f|X)-1 é diferenciável em f(X) , então D[(f|X)-1](y)=[Df(x)]-1 para x∈X com y=f(x) (ficou por provar que ∃ aberto X⊂S tal que (f|X)-1 é diferenciável em X ; agora temos o Teorema de Contracção para obter as soluções locais de f(x)=y como pontos fixos únicos função de y ).
Teorema da Função
Inversa: Se f:S→ℝn, com S⊂ℝn aberto, f é
diferenciável em S, Df é contínua em a∈S e Jf(a)≠0 , então ∃ X⊂S aberto
com a∈X tal que:
(1) Restrição f|X tem inversa f-1;
(2) Y=f(X) é aberto;
(3) f-1 é diferenciável em Y e Df-1(y)=[Df(x)]-1, com x=f-1(y) ;
(4) f é Cm (m≥1) ⇒ f-1 é Cm.
Observação: O Teorema da Função Inversa dá condições suficientes para existência de inversa local, mas não necessárias (mesmo com funções continuamente diferenciáveis, e.g. com n=1, f(x)=x3 e f(x)=x2 no ponto 0 f'(0)=0 e a 1ª tem inversa mas a 2ª não).
21ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Sucessões de Cauchy, espaços normados completos, ℝn é espaço completo. Contracções, teorema de contracção, cálculo de aproximações de ponto fixo de contracção e de solução de equação correspondente. Método de Newton-Raphson para cálculo numérico de soluções de equações em ℝ.
28 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) ∃ solução única x da equação f(x)=y para (x,y) numa vizinhança de (a,f(a)) ⇔ ∃ X aberto com a∈X tal que a restrição f|X tem inversa (i.e. ∃ "inversa local" de f na vizinhança de (a,f(a)) ).
(2) Proposição: Existência de inversa local: Se f:S→ℝn, S⊂ℝn é aberto, f é diferenciável em S, Df é contínua em a∈S, Jf(a)≠0 , então ∃ aberto X⊂D com a∈X tal que f|X tem inversa.
Observações:
(1) Pretende-se provar que (f|X)-1 é diferenciável, para o que é preciso provar que está definida num aberto Y=f(X) , com X aberto e a∈X . Para isso é preciso controlar melhor as imagens y=f(x) , x∈X . Também é útil obter um método de cálculo computacional para obter aproximações da inversa tão boas quanto se queira.
(2) Relação de resolução de equação e existência de ponto fixo de função: f(x)=y ⇔ Qy(x)=x , definindo Qy(x)=x-(f(x)-y) .
(3) É natural provar existência e unicidade de ponto fixo de uma função nem conjuntos fechados em que a função contrai distâncias, só que temos de provar existência de limite sem o conhecer.
(4) Se {uj}⊂ℝn, uj→L quando j→+∞, então ∀ε>0 ∃ N∈ℕ tal que k,m>N ⇒ ||uk-um||<ε .
Definições:
(1) Contracção em S⊂ℝn (função que contrai distâncias em S): Q:S→S, com tal ||Q(u)-Q(v)||≤λ||u-v|| para u,v∈S , com λ∈[0,1[ .
(2) Sucessão de Cauchy {uj}⊂ℝn: ∀ε>0 ∃ N∈ℕ tal que k,m>N ⇒ ||uk-um||<ε .
(3) Espaço normado completo (espaço normado em que sucessões de Cauchy
convergem).
Proposição: ℝn com a norma canónica (ou equivalente) é um
espaço completo.
Observações:
(1) ℚ não é completo e ℝ é completo, com a norma dada pelo valor absoluto.
(2) Qualquer espaço normado pode ser completado (semelhante a completar ℚ com ℝ).
(3) Em vez de espaços vectoriais normados podem-se considerar espaços métricos.
Teorema de contracção: Toda contracção Q num subconjunto fechado ∅≠F⊂ℝn tem um ponto fixo x*∈F; para todo u∈F, Qk(u)→u* exponencialmente.
Observações:
(1) O Teorema de Contracção dá um método numérico para obter sucessão de
aproximações do ponto fixo (logo da solução da equação correspondente) por
iteração sucessiva da contracção Q a partir de qualquer u∈F.
(2) O Teorema de Contracção pode ser aplicado em qualquer espaço normado (ou métrico) completo, o que, por exemplo, é útil em espaços de funções, como no caso de
equações diferenciais ou integrais.
(3) A noção de derivada e correspondentes aplicações pode ser considerada em
espaço normados completos, inclusivamente para identificar extremos de funções
com valores reais dependentes de funções em problemas de optimização em
dimensão infinita de interesse prático em muitas aplicações.
Proposição: Método de Newton-Raphson para resolução numérica de equações: Se f:[a,b]→ℝ é C2, f´≠0 e |f´f´´|<(f´)2, então a equação f(x)=0 tem uma única solução em [a,b], e esta pode ser calculada aproximadamente como limite da sucessão {xn}, com xn+1=xn-[f(xn)]/f´(xn) e x1∈[a,b] qualquer, em que a convergência é exponencial.
Exemplo: Aplicação do Método de Newton-Raphson para calcular a solução da equação cos x=x .