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29ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Funções contínuas em conjuntos compactos. Conjuntos de conteúdo nulo e de medida nula.
11 abril 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝn é intervalo limitado, f é integrável à Riemann em I ⇔ ∀ε,δ>0 ∃ partição finita P de I e conjunto C de subintervalos de P: o(f,R)<ε para R∈C e ΣR∉Cv(R)<δ .
(2) Se f:D→ℝ é limitada e D⊂ℝn, então f é contínua em a∈D ⇔ o(f,a)=0 .
(3) Se f:I→ℝ , I⊂ℝn é intervalo limitado, então f é uniformemente contínua em I ⇒ f é integrável à Riemann em I .
(4) Se f:I→ℝ , I⊂ℝn é intervalo limitado e fechado, então f é contínua em I ⇒ f é integrável à Riemann em I .
(5) Definição: K⊂ℝn é compacto se toda cobertura aberta de K tem subcobertura finita de K (noção topológica).
(6) Teorema de Heine-Borel: K⊂ℝn é compacto ⇔ K é limitado e fechado.
(prova de (⇒) só usou noções de conjuntos e conjuntos abertos, logo válido em espaços topológicos; prova de (⇐) usou convergência de sucessões de Cauchy, logo válido em espaços métricos completos mas pode falhar em espaços topológicos que não sejam metrizáveis ou em espaços métricos não completos).
Proposições: Seja f:K→ℝm contínua e K⊂ℝn compacto.
(1) Teorema de Heine-Cantor: f é uniformemente contínua.
(2) f(K) é compacto.
(3) Se f é injectiva, então f é aplicação aberta (transforma abertos
relativamente a K em abertos relativamente a f(K)) e f-1 é contínua.
Observações:
O Teorema da Função Inversa garante que f:D→ℝn C1, com D⊂ℝn aberto e det Df≠0, é uma aplicação injectiva
e aberta. Para funções injectivas definidas em conjuntos compactos não são precisas hipóteses que envolvam diferenciabilidade, pois basta continuidade para garantir que é uma aplicação aberta.
Definições: Conteúdo nulo e medida nula de conjunto A⊂ℝn.
Observação: Conteúdo nulo=medida de Jordan nula. Medida nula=medida de Lebesgue nula.
Proposições:
(1) A⊂ℝn tem conteúdo nulo, ⇒ A é limitado.
(2) A⊂ℝn tem conteúdo nulo, ⇒ A tem medida nula.
(3) No conjunto dos conjuntos compactos A⊂ℝn conteúdo nulo e medida nula são equivalentes.
(4) A⊂ℝn tem conteúdo (resp., medida) nulo/a e B⊂A ⇒ B tem conteúdo (resp., medida) nulo/a.
(5) Um conjunto finito (resp., numerável) A⊂ℝn tem conteúdo (resp. ,medida) nulo/a.
(6) Uniões finitas (resp. numeráveis) de subconjuntos de ℝn de conteúdo (resp. medida) nula têm conteúdo (respect. medida) nulo/a.
(7) Produtos cartesianos finitos (resp., numeráveis) de subconjuntos de ℝn de conteúdo (resp. medida) nulo/a têm conteúdo nulo (resp. medida) nulo/a.
(8) Gráficos de funções com valores reais contínuas em conjuntos compactos, f:K→ℝ com K⊂ℝn compacto, têm conteúdo nulo (em ℝn+1).
Exemplos:
(1) ℚ∩[0,1] tem medida nula e não tem conteúdo nulo.
(2) ℕ e ℚ têm medida nula (pois são numeráveis) e não têm conteúdo nulo (pois são são ilimitados).
Mudança de Variáveis de Integração. Regra de Leibniz
11 abril 2016, 10:00 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios
28ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Integrabilidade à Riemann de funções uniformemente contínuas em intervalos limitados, e de funções contínuas em intervalos limitados e fechados. Conjuntos compactos e Teorema de Heine-Borel.
8 abril 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝn é intervalo limitado, são condições necessárias e suficientes para f ser integrável à Riemann em I:
(a) ∀ε>0 ∃ funções em escada s,t com s≤f≤t :
∫I(t-s)<ε ( ∫I(t-s)=ΣR(tR-sR)v(R)<ε , R subintervalos de partição finita de I em cujos interiores s e t são constantes).
(b) ∀ε,δ>0 ∃ partição finita P de I e conjunto C de subintervalos de P: o(f,R)<ε para R∈C e ΣR∉Cv(R)<δ .
(2) Se f:D→ℝ é limitada e D⊂ℝn, então f é contínua em a∈D ⇔ o(f,a)=0 .
(3) Se f:I→ℝ , I⊂ℝn é intervalo limitado, então:
(a) f é uniformemente contínua em I ⇔ ∀ε,δ>0 ∃ partição finita P de I tal que ∀ subintervalo R de P o(f,R∩I)<ε .
(b) f é uniformemente contínua em I ⇒ f é integrável à Riemann em I .
Exemplo: Verificação da não integrabilidade à Riemann da função de Dirichlet em [0,1] observando que a oscilação em qualquer subintervalo de partição finita de [0,1] é 1 e, portanto, a condição necessária e suficiente de integrabilidade à Riemann (1)-(b) falha.
Proposição: Se f:I→ℝ é contínua
num intervalo limitado e fechado I⊂ℝn, então f é uniformemente contínua em I , logo integrável à Riemann em I .
(Dem. Se f não fosse uniformemente contínua verificar-se-ia a negação da condição em (3)-(a). Por subdivisão ao meio de cada aresta de intervalos sucessivos pode obter-se sucessão de intervalos em que a negação dessa condição se verifica. Como a intersecção desses intervalos é um ponto a∈I (porque I é fechado) e f é contínua em a , ∃R>0 o(f,BR(a))<ε , e a partir de alguma ordem os intervalos estão incluídos em BR(a) , pelo que nesses intervalos falha a negação da condição em (3)-(a), o que é contraditório.)
Em resumo, se f:I→ℝ , I⊂ℝn é intervalo limitado, são condições suficientes para f ser integrável à Riemann em I :
(1) f é uniformemente contínua em I .
(2) f é contínua em I e I é fechado.
Observações:
(1) Obteve-se um condição suficiente de integrabilidade à Riemann análoga à obtida para integrais simples no semestre passado.
(2) O essencial da continuidade uniforme é poder passar de um nº infinito de bolas em que as oscilações da função são tão pequenas quanto se queira para um nº finito.
Motivação: Cobertura de conjunto e conveniência de condições para poder passar a subcobertura finita.
Definições: Cobertura aberta de conjunto, subcobertura, e conjunto compacto K (toda a cobertura aberta de K tem subcobertura finita de K).
Teorema de Heine-Borel: Se K⊂ℝn, K é compacto ⇔ K é limitado e fechado.
Observações:
(1) A noção de conjunto compacto só envolve
conceitos de conjuntos e de conjunto aberto, pelo que pode ser
considerada em espaços topológicos, mesmo que não sejam métricos.
(2) A prova da necessidade da condição de compacidade no Teorema de Heine-Borel
não depende do conjunto ser subconjunto de ℝn, (contrariamente à prova de suficiência), pelo que
todo o conjunto compacto (mesmo que não seja subconjunto de ℝn) é limitado e fechado. A prova do recíproco usa a convergência de sucessões de Cauchy, pelo que é válida em espaços métricos completos.