Sumários
Derivadas de Ordem Superior. Extremos
18 março 2016, 12:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios.
20ª Aula - Motivação para Teorema da Função Inversa. Definição de jacobiano. Existência de inversa local de função diferenciável com derivadas parciais contínuas e jacobiano ≠0 num ponto. Cálculo da derivada da inversa local no caso de ser diferenciável num aberto que contém a imagem do ponto. Motivação para o Teorema da Contracção para existência e unicidade de ponto fixo.
18 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Motivação para Teorema da Função Inversa: A questão de soluções x de equações f(x)=y é muito importante em matemática e aplicações. A possibilidade de resolução explícita em termos de funções elementares é rara: é possível resolver em geral se f é uma transformação linear em dimensão finita, se f é um polinómio real existem fórmulas resolventes apenas para polinómios até ao 4ª grau e está provado que não há fórmulas resolventes para grau maior, as outras equações que se podem resolver são casos muito particulares, e.g. que se podem reduzir a estes por mudanças de variáveis ou aproveitando simetrias. Como, a não ser em casos muito particulares, não se podem resolver equações explicitamente, pretende-se:
(1) obter condições que garantam existência de soluções,
(2) obter condições que garantam unicidade ou que permitam contar as soluções,
(3) determinar conjuntos a que pertencem soluções,
(4) ter métodos para calcular computacionalmente aproximações das soluções com a precisão pretendida.
Pretende-se obter condições com cálculo diferencial, e.g. para funções reais de variável real f diferenciáveis, se f´(a)≠0 a função é estritamente crescente ou decrescente e, portanto, injectiva numa vizinhança de a (existe inversa local mas pode não existir inversa global), e transformações lineares em ℝn são injectivas se e só se têm representações matriciais A não singulares, i.e. com det A≠0 .
Definição: Se f:S→ℝn, S⊂ℝn e f tem derivadas parciais em a∈int S, chama-se jacobiano de f em a a Jf(a)=det Df(a) .
Existência de inversa local: Se f:S→ℝn, S⊂ℝn aberto, f é diferenciável em S, as derivadas parciais Djf (j=1,...,n) são contínuas em a∈S e Jf(a)≠0 , então ∃ aberto X⊂S com a∈X tal que a restrição f|X de f a X tem inversa.
Exemplo: Função de ℝ2 em ℝ2 C∞ com jacobiano ≠0 em todos os pontos, mas não invertível (inevitabilidade de consideração de inversas locais).
Observações:
(1) Se a inversa f-1 de f|X é diferenciável, é fácil obter a derivada de f-1 mesmo sem conhecer uma fórmula para esta função, pois de f-1∘f=1X obtém-se da regra de derivação da função composta D f-1(y)Df(x)=1X e, portanto, Df-1(y)=[Df(x)]-1, com y=f(x) .
(2) Para isso é preciso provar a diferenciabilidade de f-1 e necessitamos de ter controlo sobre a variação desta função na vizinhança de a . Para tal convém obter uma condição de existência e unicidade de solução local de f(x)=y que não só permita esse controlo como também obter um método de calcular computacionalmente aproximações que convirjam para as soluções.
(3) O caso mais simples é quando a solução é posta como ponto fixo de uma função que contrai distâncias, pois é de esperar que aplicando sucessivamente a função a partir de um ponto qualquer se obtenha uma sucessão convergente para o ponto fixo. Por isso, prova-se a seguir o chamado Teorema da Contracção que tem aplicação mais geral para obter existência, unicidade e sucessões de aproximações de soluções de equações.
19ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Exemplos de determinação de extremos relativos, absolutos ou pontos de estacionaridade de sela de campos escalares concretos em ℝ2.
17 março 2016, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares na vizinhança de ponto a : Se f:D→ℝ, D⊂ℝn, f é C2 em BR(a)⊂D, então f(a+h) - f(a) = ∇f(a)·h + (1/2) htHf(a)h + ||h||2E2(a,h) , com E2(a,h)→0 quando h→0 .
(2) Se f:D→ℝ, D⊂ℝn, f é C2 em BR(a)⊂D e ∇f(a)=0 , então:
(a) Hf(a) definida positiva (resp. negativa) ⇒ f tem máximo relativo em a ;
(b) Hf(a) indefinida ⇒ f tem sela em a (noutros casos é inconclusivo). Nos casos (a) e (b) a classificação de pontos de estacionaridade foi reduzida a uma questão de Álgebra Linear.
(dem.: se Hf(a) definida positiva, aplicar (1) e verificar que [1/(2||h||2)] [ (h/||h||)t Hf(a) (h/||h||) + E2(a,h) ] > 0 para h≠0 suficientemente pequeno, porque v=h/||h|| pertence à superfície esférica ∂B1(0) de raio 1 com centro na origem, que é um conjunto limitado e fechado, e v↦vtHf(a)v>0 é contínua em ∂B1(0) e o T. de Weiertrass implica que tem um mínimo m>0 e para h suficientemente pequeno |E2(a,h)|<m ; se Hf(a) definida negativa, então H-f(a) definida positiva e aplica-se caso anterior; se Hf(a) é indefinida, ∃h1,h2≠0 com h1tHf(a)h1>0 e h2tHf(a)h2<0 e o mesmo argumento garante que para h1,h2 suficientemente pequenos f(a+h)-f(a) é >0 e <0 para (resp.) h igual a h1 e h2 ).
Exemplos: Determinação e classificação de pontos de estacionaridade em casos concretos de campos escalares polinomiais em ℝ2 com ponto de estacionaridade em que a matriz hessiana é semidefinida e é um ponto de mínimo, de máximo ou de sela (mesmo com a restrição às direcções próprias da matriz hessiana com mínimo no ponto); exemplo de determinação de máximo relativo ser máximo absoluto estudando o limite no infinito e aplicando o T. de Weierstrass; exemplos de campos escalares com um continuum de pontos de sela, pontos de máximo ou pontos de mínimo; exemplo de determinação de extremos em pontos onde a função não é diferenciável.