18ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares ou vectoriais. Matriz hessiana de campo escalar. Condições com derivadas parciais de 2ª ordem para  classificação de pontos de estacionaridade de campos escalares. Exemplo de aplicação num caso concreto de campo escalar em ℝ2 correspondente à energia de um sistema mecânico conservativo.

16 março 2016, 09:00 • Luis Magalhães

(Aula de substituição da aula prevista para 23.FEV: LMAC+MEBiom (09:00-10:00, sala GA4), MEFT (13:00-14:00, sala v1.31))

Revisão: 
(1) Teorema de Weiestrass: Campos escalares contínuos em subconjuntos limitados e fechados de ℝⁿ tem máximo e mínimo nesses conjuntos.
(2) Extremos relativos de campos escalares em conjuntos em que o gradiante existe só podem ocorrer em pontos de estacionaridade interiores ao conjunto ou na fronteira do conjunto.
(3) Motivação para testes de identificação de extremos de campos escalares com derivadas parciais de 2ª ordem: revisão do caso de funções reais de variável real.
(4) Fórmula de Taylor de ordem k (k∈ℕ) na vizinhança de 0 para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo, 0∈I e g com derivada k+1 em I, com resto de Lagrange: g(t)=Σ^k_j=0 (1/j!) g^(j)(0) t^j + (1/(k+1)!) g^(k+1)(t*) t^k+1, para algum t* entre 0 e t .

Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares: .Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C^k+1 em B_R(a)⊂D, h∈ℝⁿ, ||h||<R , então
f(a+h) = Σ^k_j=0 (1/j!) Σ^k_{(i1,...,ij)∈{1,...,n}^j} D_i1,...,ijf(a) h_i1··· h_ij + ||h||^kE_k(a,h) , com E_k(a,h)→0 quando h→0 . 
(dem.: fórmula de Taylor de ordem k para a função real de variável real g(t)=f(a+th) na vizinhança de 0 com resto de Lagrange, e prova de E_k(a,h)→0 quando h→0 usando Teorema de Weierstrass para majorar os módulos das derivadas parciais de ordem k+1).

Observações: 
(1) É possível enfraquecer a hipótese para f C^k, mas não se prova aqui.
(2) Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares f:D→ℝ C^k, D⊂ℝ² aberto, no ponto 0∈D
    (k=1): f(x,y) = f(0) + D₁f(0)x + D₂f(0)y + ||(x,y)|| E₁(0,(x,y)) ;
    (k=2): f(x,y) = f(0) + D₁f(0)x + D₂f(0)y + (1/2) [ D₁₁f(0) x² + 2D₁₂f(0) xy + D₂₂f(0) y² ] + ||(x,y)||² E₂(0,(x,y)) ;
    (k=3): f(x,y)= f(0) + D₁f(0)x + D₂f(0)y + (1/2) [ D₁₁f(0) x² + 2D₁₂f(0) xy + D₂₂f(0) y² ] + (1/3!) [ D₁₁₁f(0) x³ + 3D₁₁₂f(0) x²y + 3D₁₂₂f(0) xy² + D₂₂₂f(0) y³ ] + ||(x,y)||³ E₂(0,(x,y)) ;
      ...     (os coeficientes podem ser obtidos do triângulo de Pascal como para os coeficientes do binómio de Newton).

Definição: Matriz hessiana de campo escalar f em ponto a onde existem todas as derivadas de 2ª ordem: H_f(a)=[D_ijf(a)]_i,j=1^n,n.

Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares: .Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C^k+1 em B_R(a)⊂D, h∈ℝⁿ, ||h||<R , então
f(a+h) - f(a) = Df(a)h + (1/2) h^t H_f(a) h + ||h||² E₂(a,h) , com E₂(a,h)→0 quando h→0 .

Proposição: Para que um ponto de estacionaridade a de um campo escalar C² numa bola aberta centrada em a ser ponto de mínimo relativo, máximo relativo, sela é suficiente que a matriz hessiana seja, resp., definida positiva, definida negativa, indefinida (dem. aplicação da Fórmula de Taylor de 2ª ordem e Teorema de Weierstrass aplicado aos termos de 2ª ordem).

Observação: Com as mesmas hipóteses se a matriz hessiana é semidefinida positiva ou negativa, o teste de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade é inconclusivo (poderia ser ponto de máximo, mínimo ou sela); para tentar classificar é preciso estudar com mais detalhe a função na vizinhança do ponto.

Revisão de Álgebra Linear: Condições para classificar formas quadráticas em (semi)definidas positivas ou negativas, ou indefinidas com base em valores próprios, menores de matrizes (determinantes de submatrizes) ou pivots de eliminação de Gauss.

Proposição: Se :D→ℝ C², D⊂ℝ² aberto, a∈D, ∇f(a)=0 , A=D₁₁f(a), B=D₁₂f(a), C=D₂₁f(a), D₂₂f(a) , então:
(1) det H_f(a)>0 , tra H_f(a)>0 ⇒ f tem mínimo em a ;
(2) det H_f(a)>0 , tra H_f(a)<0 ⇒ f tem máximo em a ;
(3) det H_f(a)<0 ⇒ f tem sela em a ;
(4) det H_f(a)=0 : inconclusivo (poderia ser ponto de máximo, mínimo ou sela).
(dem.: det H_f(a) é o produto e tra H_f(a) é a soma dos valores próprios, repetidos de acordo com multiplicidade algébrica; logo, são >0 em (1) , <0 em (2) , um >0 e outro <0 em (3) , e pelo menos um 0 em (4) ).

Exemplo: Determinação de pontos de extremo ou sela num caso concreto de campo escalar em ℝ² correspondente à energia de um sistema mecânico conservativo com dois pontos de equilíbrio, com energia que tem um ponto de mínimo relativo (estável) e outro de sela (instável).

17ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Teorema de Wierstrass (campos escalares contínuos em conjuntos limitados e fechados). Exemplos concretos de classificação de pontos de estacionaridade (pontos de máximo, mínimo ou sela) analisando a função sobre rectas que passam no ponto de estacionaridade ou com Teorema de Weierstrass, cálculo de extremos na fronteira do domínio, e motivação para condições com derivadas de 2ª ordem.

15 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Condição necessária para ponto de extremo: f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f tem todas derivadas parciais de 1ª ordem em a∈int D, f tem extremo em a ⇒ ∇f(a)=0 (a é ponto de estacionaridade de f ). 
Observação: não é condição suficiente, pois pode ser ponto de sela (tal como para funções reais de variável real é possível obter condições suficientes com derivadas de 2ª ordem).

Exemplo: Determinação de extremos e pontos de sela de um campo escalar em ℝ² concreto com pontos de sela e um máximo relativo, sem mínimos relativos nem extremos absolutos. Motivação para testes de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade e para  Teorema de Weierstrass para campos escalares.

Definições: Subconjunto de ℝⁿ limitado e intervalo em  ℝⁿ.

Teorema de Weierstrass: Campos escalares f contínuos em subconjuntos limitados fechados D⊂ℝⁿ têm máximo e mínimo 
(dem.: como foi feito para ℝ: argumento por absurdo e subdivisão ao meio sucessiva das arestas de intervalo que contém D para provar que f é limitado, prova de f assumir um máximo por aplicação do resultado precedente a (sup_Df-f)^-1 sob a hipótese de sup_Df não ser assumido por f que leva a contradição, prova de f assumir o mínimo por aplicação do resultado precedente a -f que tem máximo igual a mínimo de -f). 

Exemplos: (1) Aplicação do Teorema de Weierstrass a determinação de extremos de campos escalares; (2) Determinação de extremos em pontos da fronteira do domínio de campos escalares.

Derivadas de Ordem Superior. Extremos

14 março 2016, 14:30 • Helena Mascarenhas

Resolução de exercícios. 3º Miniteste.

16ª Aula - Revisão dos aspectos principais das últimas duas aulas. Teorema de valor intermédio com  derivadas de 2ª ordem. Existência e igualdade de derivadas parciais de ordem >1 sob permutação da ordem de derivação  quando uma é contínua. Introdução a determinação de extremos de campos escalares.

14 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Uma condição suficiente para um campo escalar ou vectorial ser diferenciável num conjunto aberto é que seja C¹ (dem.: aplicação do Teorema de Lagrange). Derivadas segundo vectores e derivadas direccionais de campos escalares ou vectoriais. 

Definição: Derivadas parciais de ordem k∈ℕ de campo escalar ou vectorial.

Proposições: Teorema de valor intermédio em ℝ² com derivadas parciais de 2ª ordem: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ² aberto, tem derivada D₂₁f em D , a=(a₁,a₂)∈D e h=(h₁,h₂)∈ℝ²  são tais que R_h=[a₁,a₁+h₁]x[a₂,a₂+h₂]⊂D , então ∃c∈R_h tal que [f(a₁+h₁,a₂+h₂) - f(a₁+h₁,a₂)] - [f(a₁,a₂+h₂) - f(a₁,a₂)] = D₂₁f(c) h₁h₂ (dem.: duas aplicações do Teorema de Lagrange de uma variável uma para cada uma das variáveis e regra de derivação da função composta). 

Lema de Schwarz para derivadas parciais de 2ª ordem com 2 variáveis: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ², D₂₁f e D₂f existem em D e D₂₁f é contínua em a∈int D , então D₁₂f(a) existe e D₁₂f(a)=D₂₁f(a) (dem.: resultado precedente, continuidade de D₂₁f , limites iterados e definição de derivada parcial).

Definição: Se  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ aberto, diz-se que f é C^k, com k∈ℕ (f é continuamente diferenciável até ordem k) se todas as derivadas parciais de f até ordem k, inclusivé, existem e são contínuas em D .

Lema de Schwarz para derivadas parciais de ordem k em n variáveis: Se  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ aberto, é C^k, então as derivadas parciais até ordem k, inclusivé, são independentes da ordem de derivação (dem.: sem perda de generalidade campos escalares, aplicação sucessiva de trocas de pares de variáveis e do resultado precedente para realizar a permutação de variáveis considerada). 

Observação: Comparando com o penúltimo resultado vê-se que é possível considerar hipóteses menos restritivas.

Definições: Pontos de máximo relativo, mínimo relativo, extremo relativo, sela, máximo absoluto, mínimo absoluto de campos escalares. Ponto de estacionaridade de campo escalar (∇f(a)=0).

Proposição: Para um campo escalar f ter extremo num ponto interior ao domínio em que as derivadas parciais de 1ª ordem existem é necessário que o ponto seja de estacionaridade de f (dem.: restrições a rectas paralelas aos eixos coordenados definem funções reais de variável real diferenciáveis com extremo no ponto correspondente e aplicação do resultado para estas funções).

Observação: Esta condição é necessária, mas não é suficiente, pois o ponto pode ser de inflexão em dim=1 ou de sela em dim>1.

Derivadas de Ordem Superior. Extremos

14 março 2016, 10:00 • Helena Mascarenhas

Resolução de exercícios. 3º Miniteste.