Sumários
Diferenciabilidade
29 fevereiro 2016, 14:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios. 2º Miniteste.
8ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Limites iterados: definição e exemplos. Caracterização topológica de continuidade, preimagens de subconjuntos de espaços de chegada de funções, conjuntos abertos e fechados relativamente a um conjunto que os contém.
29 fevereiro 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Diferença das condições para existência de limite num ponto de fecho do domínio de campo escalar ou vectorial de mais de uma variável real em comparação com funções reais de variável real por com 1 variável independente haver uma ordenação para a esquerda e direita coerente com a distância ao ponto, enquanto com mais de 1 variável independente não há tal ordenação. A passagem de 1 para 2 variáveis reais traz esta nova dificuldade, mas a passagem de 2 para mais variáveis reais não traz dificuldades adicionais.
(2) Operações e continuidade: somas, produtos, quocientes com denominador 0, composições de funções contínuas em pontos correspondentes são funções contínuas nesses pontos.
(3) Determinação para campo escalar ou vectorial de que limx→af(x) não existe: encontrar uma sucessão de pontos do domínio convergente para a tal que a sucessão de imagens não tem limite, ou duas sucessões do domínio convergentes para a tais que as correspondentes sucessões de imagens têm limites diferentes.
(4) Determinação de b=limx→af(x) :
(a) se é possível provar com propriedades de operações e continuidade que f é contínua em a, então b=f(a) ;
(b) caso contrário, majorar ||f(x)-b||≤g(x)→0 quando x→a (um candidato para b pode ser obtido do limite de uma qualquer sucessão de imagens como em (3)).
Limites iterados: definição; se existem limites iterados num ponto diferentes, então a função não tem limite nesse ponto; se os limites iterados num ponto existem e são todos iguais, a função pode ter ou não limite no ponto (mas o candidato a limite é o valor dos limites iterados); exemplos concretos de campos escalares em subconjuntos de ℝ2 com limites iterados diferentes num ponto, com limites iterados iguais num ponto mas sem limite no ponto, e com limites iterados iguais num ponto mas com limite no ponto.
Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝm, com D⊂ℝn:
- Ilustração gráfica da ideia,
- Definições:
(1) Preimagem ou imagem inversa de conjunto A⊂ℝm por f é f-1(A)={x∈D: f(x)∈A} ;
(2) Diz-se que S⊂D⊂ℝn é aberto (resp. fechado) relativamente a D se existe um conjunto aberto (resp. fechado) U⊂ℝn tal que S=U∩D.
-Proposição: f é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝm são conjuntos abertos relativamente a D⊂ℝn.
- Observações:
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade. Pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos.
(2) O resultado pode ser aplicado para a determinação de conjuntos abertos ou fechados com base em funções contínuas.
(3) Uma função pode não ser invertível, mas existem sempre preimagens dos subconjuntos do respectivo espaço de chegada. Uma função é ivertível se e só se as preimagens de subconjuntos singulares do espaço de chegada não vazias são subconjuntos singulares do domínio.
Diferenciabilidade
29 fevereiro 2016, 10:00 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios. 2º Miniteste.
Topologia. Limites. Continuidade
26 fevereiro 2016, 12:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios. 1º Miniteste.