Sumários
13ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Teorema de Lagrange para campos escalares e algumas aplicações, incluindo que em conjuntos abertos convexos ou conexos por poligonais um campo escalar ou vectorial tem derivada 0 se e só se é constante.
8 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão: Regra de derivação da função composta para funções de possivelmente várias variáveis reais com valores em ℝm.
Exemplos de determinação de domínio de continuidade, domínio de diferenciabilidade e gráfico de função em exemplos concretos de campos escalares em ℝ2.
Revisão:
(1) Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Intermédio do Cálculo Diferencial) para funções reais de variável real: Se f:I→ℝ, I⊂ℝ é um intervalo e f é diferenciável em I, então ∀x,y∈I∃c∈]x,y[: f(y)-f(x)=f´(c)(y-x) .
(2) Consequência: Se f:I→ℝ, I⊂ℝ é um intervalo, então f'=0 em I ⇔ f é constante em I .
Proposição: Teorema de Lagrange para campos escalares: Se f:D→ℝ, D⊂ℝn,, Sa,b⊂D é o segmento de recta com extremidades nos pontos a,b e f é diferenciável em Sa,b , então ∃c∈Sa,b\{a,b}: f(b)-f(a)=∇f(c)·(a-b)=f´(c)(b-a) .
Consequência: Campos escalares com derivada 0 são constantes em segmentos de recta contidos no interior do domínio.
Observação: O Teorema de Lagrange não é válido para campos vectoriais (pode acontecer que para cada componente o ponto intermédio seja diferente e, portanto, não exista um ponto intermédio que seja válido para todas as componentes simultaneamente).
Definição: Diz-se que D⊂ℝn é convexo se para todo par de pontos em D o segmento de recta que os liga está incluído em D . Diz-se que é conexo por poligonais se para todo o par de pontos existe uma linha poligonal que os liga. Uma linha poligonal é uma união de um nº finito de de segmentos de recta com o ponto inicial de cada um coincidente com o ponto final de um outro, com excepção do ponto inicial do 1º segmento e o ponto final do últoimo segmento que são as extremidades da linha poligonal).
Proposição: Se f:D→ℝm, D⊂ℝn é aberto e convexo ou conexo por poligonais e f é diferenciável em D, então f´=0 ⇔ f é constante em D .
Definição: Diz-se que f:D→ℝm, D⊂ℝn aberto, é C1 (continuamente diferenciável) em D se as derivadas parciais de todas as componentes ∂fi/∂xj existem e são contínuas em D .
Com base no Teorema de Lagrange para campos escalares pode-se provar que um campo escalar ou vectorial C1 num conjunto aberto é diferenciável nesse conjunto (ideia geométrica da demonstração).
12ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Diferenciabilidade e regra de derivação da função composta. Exemplos concretos de determinação de diferenciabilidade, derivada com base nas regras de derivação de operações de funções e na definição em pontos em que essas regras não se apliquem, plano tangente ao gráfico num ponto de diferenciabilidade e esboço de gráficos de campos escalares em ℝ2
7 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisões:
(1) As funções diferenciáveis num ponto são contínuas nesse ponto. Transformações lineares são diferenciáveis em todos os pontos. Somas, produtos, quocientes com denominador ≠0 de campos escalares diferenciáveis num ponto são diferenciáveis nesse ponto. Somas, produtos internos, produto externo (no caso de campos vectoriais com valores em ℝ3) de campos vectoriais diferenciáveis num ponto são diferenciáveis nesse ponto.
(2) Composição f∘g de funções reais de variável real com g diferenciável em a e f diferenciável em g(a) é diferenciável em a e (f∘g)´(a)=f´[g(a)]g´(a) (produto de nºs reais).
Proposição: Regra de derivação da função composta (ou regra da cadeia):
(1) Se g:C→ℝn é diferenciável em a∈int C⊂ℝp e f:D→ℝm é diferenciável em g(a)∈int D⊂ℝn , então f∘g é diferenciável em a e D(f∘g)(a)=Df[g(a)]Dg(a) (produto de matrizes), ou seja (f∘g)'(a)=f´(g(a))∘g´(a) (composição de transformações lineares).
(2) Se g é diferenciável em S⊂int C e f é diferenciável em g(S)⊂int D, então f∘g é diferenciável em S e D(f∘g)=(Df∘g)Dg (produto de funções com valores matriciais), ou seja (f∘g)'=(f´∘g)∘g´ (composição de transformações lineares).
Observação: Para determinar se uma função é diferenciável num ponto e, se for, calcular a derivada, começa-se por explorar a possibilidade de dar a função numa vizinhança do ponto em termos das operações consideradas de funções diferenciáveis em pontos correspondentes. Só se consideram alternativas (e.g. a definição de diferenciabilidade que envolve calcular um limite de uma indeterminação) em pontos em que isto não seja possível.
Exemplo: Determinação do conjunto de diferenciabilidade de campos escalares concretos em ℝ2 , do plano tangente num ponto de diferenciabilidade como gráfico de função e por equação cartesiana, esboço dos gráficos das funções, e observações em relação a ordens de convergência de quocientes nas fórmulas das funções consideradas em relação a continuidade e a diferenciabilidade.