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Teorema de Green. Teorema da Divergência
20 maio 2016, 12:30 • Helena Mascarenhas
Resolução de exercícios
51ª Aula - Prova do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais múltiplos em ℝn. Invariância de divergência com transformações de coordenadas (lineares ou não lineares). Descrição geométrica de divergência de campo vectorial. Referência a aplicações do TFC. Teorema de Green como particularização de TFC com integrais de linha sobre a fronteira em vez de fluxos através da fronteira.
20 maio 2016, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais Múltiplos ou Teorema da Divergência em ℝn: Se D⊂ℝn é um domínio regular e f:D→ℝn é C1, então ∫D div f = ∫∂Df·ν .
Foi descoberta a forma do operador diferencial no integral múltimplo no lado esquerdo e do integral de valores da função em ∂D no lado direito ao obter a fórmula localmente para funções com suporte numa vizinhança de um ponto x0∈∂D (rever).
(2) Também se escreve ∇·f=div f por analogia com (∂/∂x1,..., ∂/∂xn)·(f1,...fn) .
Prova deste TFC:
(1) localmente para funções com suporte numa vizinhança de um ponto x0∈∂D , já feito.
(2) localmente para funções com suporte numa vizinhança de um ponto x0∈int D , análogo, mas mais fácil porque ambos os lados são 0 .
(3) globalmente (usam-se partições da unidade para juntar as contribuições locais). Como D é compacto tem cobertura aberta finita ℱ={U1, ..., UN} tal que o resultado é válido para funções com suporte em cada um dos Uj . Se Ψ={ψ1,..., ψN} é partição da unidade finita em D subordinada a ℱ, com supp ψj ⊂ Uj , de (1) e (2) é ∑j ∫Ddiv(ψj f) = ∑j ∫∂Dψjf·ν = ∫∂Df·ν. Como div(ψj f) = ∇ψjf + ψj div f , é ∫Ddiv(ψj f) = ∫D∇(∑jψj)f + ∑j ∫Dψj div f = ∫Dψj div f , pois ∇(∑jψj)=∇1=0 .
Observações:
(1) div f = tra Df . Como traço é invariante com transformações de semelhança de matrizes, div f é invariante com mudanças de base (apesar de div f ter sido definido por derivadas parciais e estas dependerem da base a soma das derivadas parciais de cada componente em relação à correspondente variável é independente da base).
(2) Se f: é um campo de velocidade C1 em S⊂ℝ3 aberto, ∫∂Df·ν dá o fluxo para fora de D através de ∂D , ou seja a quantidade de matéria que sai de D através de ∂D . Considerando a∈S fixo e Dε⊂S domínios regulares com ε=sup{||x-a||: x∈Dε } para ε∈]0,ε0[ , como div f é contínua obtém-se div f(a)=[1/Vm(Dε)] ∫Dεdiv f = [1/Vm(Dε)] ∫∂Dεf·ν ; logo, div f(a) é o limite do fluxo médio de f para fora de domínios regulares pequenos que contêm a por unidade de volume desses domínios regular quando eles convergem para {a} . Portanto, div f(a) mede a tendência de divergência de quantidade de matéria em relação a a e div f é invariante sob transformações de coordenadas (mesmo não lineares). Diz-se, por isso que é uma entidade "intrínseca" associada ao campo vectorial f (em contraste, cada uma das derivadas parciais de componentes de f não é uma entidade "intrínseca" ).
(3) Os domínios regulares podem ser conexos ou não e, mesmo que conexos podem ter fronteiras conexas ou não.
(4) O TFC para integrais múltiplos pode ser aplicado para calcular integrais múltiplos em ℝn por fluxos através de variedades-(n-1) e viceversa e, em casos concretos isso pode tornar os cálculos muito mais fácil. Por exemplo, em ℝ3 pode ser aplicado para calcular integrais triplos por integrais de superfície ou viceversa, e em ℝ2 pode ser aplicado para calcular integrais duplos por integrais de linha ou viceversa. Em particular, fluxos através de fronteiras de domínios regulares em ℝ3podem ser calculados por integrais triplos, trabalhos de campos vetoriais ao longo de fronteiras de domínios regulares em ℝ2 podem ser calculados por integrais duplos, volumes podem ser calculados por integrais de superfície e áreas podem ser calculadas por integrais de linha com com campos com divergência 1. Referência a curvímetros como instrumentos usados em cartografia que permitem calcular áreas de conjuntos planos limitados por curvas fechadas simples uma vez "passados" sobre essas curvas.
(5) O Teorema da Divergência em n=3 chama-se Teorema de Gauss.
Exemplos: Determinação a partir de representações gráficas de campos vectoriais se div f(a) é = 0, >0 , <0 .
Teorema de Green (TFC para integrais duplos): Se D⊂ℝ2 é um domínio regular, ∂D é união finita de curvas regulares simples fechadas e P,Q:D→ℝ são C1, então ∫∫D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dx dy = ∫∂DPdx+Qdy , em que o integral de linha no lado direito é no sentido antihorário (ou contrário ao dos ponteiros do relógio) relativamente a D (quando visto de um ponto de D suficientemente próximo da parte correspondente de ∂D .
(Dem. Aplicar o TFC para integrais múltiplos com f=(Q,-P) e observando que se g é caminho que descreve uma curva regular fechada simples de ∂D , com ||g´||=1 , então a normal exterior unitária de D é ν=(g´2 , -g´1) ).
50ª Aula - Vector e espaço tangente, e vector e espaço normal a variedade-m em ℝn num ponto, e determinação de espaços tangentes e normais em cada uma das três descrições locais de variedades-m por parametrizações, gráficos de funções ou equações cartesianas. Método dos multiplicadores de Lagrange para condição necessária de extremos de campos escalares diferenciáveis condicionados à variável pertencer a uma variedade-m .
19 maio 2016, 13:00 • Luis Magalhães
Definição: Chama-se vector tangente a uma variedade-m M em ℝn num ponto a∈M a v∈ℝn tal que v=g´(0) para algum caminho g: ]-δ,δ [ → M com g(0)=a . Chama-se espaço tangente de M em a , designado TaM , ao conjunto de todos os vectores tangentes a M em a .
Proposição: As caracterizações locais de variedades-m M em ℝn por (1) parametrizações, (2) gráficos de funções, (3) equações cartesianas, dão caracterizações correspondentes de TaM , que é um subespaço linear de ℝn com dimensão m :
(1) TaM = R(g´(t0)) = ℒ(D1g(t0), ... , Dmg(t0)) , em que g é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de M que contém a .
(2) TaM = gráfico de f´(ai1, ..., aim) , em que localmente numa vizinhança de a M é gráfico de f:V→ℝn-m C1 , (xim+1, ..., xin) = f(xi1, ..., xim) , em que Vℝn é aberto e e (i1, ..., im) é uma permutação de (1, ..., n) .
(3) TaM =𝒩(DF(a)) , em que F(x)=0 , x∈ℝn, é uma equação cartesiana local de M com F C1 e definida em a .
Definição: Vector normal e espaço normal, designado (TaM)⊥ a variedade-m M em ℝn num ponto a∈M .
Proposição: Se M é variedade-m em ℝn e a∈M , então (TaM)⊥ é subespaço linear de ℝn com dimensão n-m . Se g é parametrização de vizinhança de coordenadas de M que contém a , então (TaM)⊥=(R(g´(t0))⊥, em que g(t0)=a . Se F é função tal que F(x)=0 é equação cartesiana local de M e F está definida em a , então (TaM)⊥=𝒩(F´(a))⊥ e tem base (∇F1(a), ... ,∇Fn-m(a)) , em que F=(F1, ..., Fn-m) .
Método dos multiplicadores de Lagrange: Se f é um campo escalar diferenciável em S⊂M , com M uma variedade-m em ℝn com m<n , para que f|M tenha extremo relativo em a∈M , se F(x)=0 é equação cartesiana local de M e F está definida em a , é necessário que existam λ1...λn-m∈ℝ tais que ∇f = λ1∇F1+ ⋯ + λn-m∇Fn-m . Aos números λ1, ..., λn-m chama-se multiplicadores de Lagrange e F=(F1, ..., Fn-m) .
Observações:
(1) A condição anterior equivale a ∇f∈(TaM)⊥, ou seja a ∇f ser ortogonal à variedade-m M em a , e, como ∇f é ortogonal aos seus conjuntos de nível, a condição equivale ao conjunto de nível de f que contém a ser tangente à variedade-m M .
(2) Extremos de funções com a variável condicionada a pertencer a uma variedade-m em ℝn chamam-se extremos condicionados ou com restrições (a pontos da variedade) com equação cartesiana local F(x)=0 com F=(F1, ..., Fn-m) . A condição necessária para ponto de extremo (livre) de campo escalar f diferenciável que é ser ponto de estacionaridade (∇f=0) , para extremos condicionados é transformada em ser ponto de estacionaridade da função g=f - (λ1F1+ ⋯ +∇Fn-m) para alguns λ1, ..., λn-m∈ℝ , que são os multiplicadores de Lagrange. Obtém-se um sistema de 2n-m equações nãolineares escalares ∇f = λ1∇F1+ ⋯ + λn-m∇Fn-m , F(x)=0 com 2n-m incógnitas escalares x1, ..., xn, λ1, ..., λn-m . Com o TFInversa obtém-se que este sistema de equações não lineares tem solução única local. Assim como para extremos (livres) de campos escalares diferenciáveis se começa por determinar os pontos de estacionaridade e, depois, identifica-se se são de máximo, mínimo ou sela, para extremos condicionados começa-se por determinar os pontos que satisfazem a condição de multiplicadores de Lagrange e depois identoifica-se se identifica-se se estes pontos são de máximo, mínimo ou sela.