Sumários
Exercícios correspondentes nas seções 4 e 5
3 dezembro 2014, 11:00 • Alfonso Zamora Saiz
Aplicações da ortogonalidade. Determinantes.
33ª Aula - Determinantes (continuação)
2 dezembro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
O determinante de n vectores linearmente independentes em R n ou Cn é 0.
Definição de determinante de matriz quadrada como sendo o determinante do múltiplo ordenado das linhas da matriz.
Exemplos de cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3.
Fórmula para determinantes em termos de permutações. Prova de que existe uma função única que satisfaz as condições da definição de determinante.
Teorema: det(AB)=(det A)(det B); se A é não singular e det A≠0, det A -1=(det A)-1; det At=det A.
O determinante de uma matriz triangular é o produto das componentes na diagonal principal.
det A, com A nxn pode ser calculado por eliminação de Gauss: se há n pivots, det A=±produto dos pivots, com + ou - conforme o nº de trocas de linhas no processo de eliminação é par ou ímpar; se há menos de n pivots, det A=0.
Fórmula de Laplace para determinantes: expansão nas componentes de uma linha ou de uma coluna. Definição de menor-ij de matriz e de cofactor-ij de matriz.
Comparação da ordem do nº assimptótico de multiplicações escalares para cálculo de determinantes de matrizes genéricas nxn: fórmula com permutações (n-1)n!, eliminação de Gauss n3/3, Fórmula de Laplace iterada n!, Fórmula de Laplace com os determinantes dos menores (n-1)x(n-1) calculados por eliminação de Gauss n(n-1)^3/3.
Aplicações de determinantes: cálculo de volumes-n de paralelepípedos-n, fórmula para inversa de matriz não singular. Definição de matriz dos cofactores.
32ª Aula - Conclusão de polinómios trigonométricos de Fourier. Produto Externo. Definição e propriedades gerais de determinantes.
1 dezembro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
Recapitulação da aproximação óptima de funções contínuas num intervalo limitado e fechado por polinómios trigonométricos de grau n. Cálculo de coeficientes de Fourier. Motivação para séries de Fourier e observação de que uma função diferenciável num intervalo limitado e fechado com valores iguais nas extremidades do intervalo é igual à sua série de Fourier.
Produto externo em R3: definição, propriedades fundamentais (antisimetria, linearidade em cada parcela com a outra fixa -- bilinearidade, ortogonalidade a cada parcela no produto interno canónico, igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico que é equivalente à norma ser a área do paralelogramo que tem as parcelas como arestas), descrição geométrica do produto externo, propriedades do produto externo de vectores linearmente independentes (é diferente de zero, com os vectores das parcelas é um conjunto linearmente independente, logo uma base de R 3, todo o vector ortogonal a dois vectores é colinear com o produto externo dos vectores). Observação de que é impossível definir um produto externo com as 4 propriedades fundamentais excepto em R 3 e R 7.
Determinante: motivação com a ideia de se pretender que o valor absoluto do determinante de n vectores em R n dê o volume-n do paralelepípedo-n com esses vectores como arestas, definição de paralelepípedo-n e ilustração geométrica do sentido de volume-n, definição de determinante como função de (Rn)n em R com as propriedades: (1) Multilinearidade (linearidade em cada argumento com os outros fixos), (2) Anulação (quando dois argumentos são iguais), (3) Normalização (=1 quando os argumentos são a base canónica de R n), propriedades gerais do determinante (=0 se um argumento =0, muda de sinal com troca de um par dos argumentos). Definição análoga para n vectores em C n.
Exercícios correspondentes nas seções 4.3 e 4.4
28 novembro 2014, 08:30 • Alfonso Zamora Saiz
Normas. Complementos e projecções ortogonais.