28ª Aula - Caracterização dos produtos internos em dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas, identificação destas matrizes pelos pivots da eliminação de Gauss, propriedades básicas de normas de espaços euclidianos

20 novembro 2014, 10:00 • Luis Magalhães

Caracterização dos produtos internos em espaços lineares de dimensão finita: são da forma <x,y>=Y  ^*GX, com G uma matriz hermitiana (i.e. G=G^*) definida positiva (i.e. Z^*GZ>0 para qualquer matriz coluna Z≠0), onde X, Y são as matrizes coluna com as componentes de, respectivamente, x, y numa base do espaço.

Uma matriz hermitiana é definida positiva se e só se é regular e a eliminação de Gauss (sem troca de linhas) dá pivots >0 em todas as linhas (e colunas). [Prova com a factorização triangular obtida com eliminação de Gauss e respectiva unicidade.]

Propriedades básicas de normas de espaços euclidianos: positividade, homogeneidade, desigualdade triangular.

Num espaço euclidiano há igualdade na desigualdade triangular, i.e. ||x+y||=||x||+||y|| se e só se y=cx, com c≥0.

Exercícios correspondentes nas seções 4.2 e 4.3

19 novembro 2014, 11:00 • Alfonso Zamora Saiz

Produtos internos com integrais. Ortogonalização de Gram-Schmidt.

27ª Aula - Fórmulas com componentes em bases ortonormais de espaços euclidianos de dimensão finita, consequências da ortogonalização de Gram-Schmidt, relação de produtos internos em dimensão finita com matrizes de Gram

18 novembro 2014, 10:00 • Luis Magalhães

Conjuntos ortogonais e conjuntos ortonormais em espaços euclidianos: definição, conjuntos ortogonais que não contêm o vector 0 são linearmente independentes.

Revisão de consequências da ortogonalização de Gram-Schmidt (todo o espaço euclidiano de dimensão finita tem bases ortonormais, factorização QR de matrizes com colunas linearmente independentes). Definição de matriz ortogonal e matriz unitária. Referência à utilidade da factorização QR em cálculo numérico; exemplo de resolução de sistemas de equações lineares. Para matrizes com colunas linearmente independentes, ortogonalização de Gram-Schmidt equivale a factorização QR assim como eliminação de Gauss equivale a factorização triangular.

Fórmulas com produtos internos e bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita para: componentes de um vector, produto interno de vectores (Fórmula de Parseval), norma de um vector (Fórmula de Pitágoras).

Fórmula para produto interno canónico em Rⁿ ou Cⁿ como produto de matrizes (x.y=x^ty em Rⁿ).

Para um produto interno e uma base (v₁,...,v_n) quaisquer de um espaço euclidiano de dimensão finita n , o produto interno de vectores x,y é igual a X^tGY, onde X,Y são os vectores coluna das componentes de x,y na base e G=[<v_i,v_j>]_i,j é a matriz de Gram dos vectores da base com o produto interno considerado, em que G é simétrica (G=G^t) para escalares reais ou hermitiana (G=G^*) para escalares complexos, e definida positiva (X^tGX>0 para X≠0).

2º Teste

17 novembro 2014, 10:00 • Luis Magalhães

2º Teste

Aula 9

14 novembro 2014, 09:30 • Rosa Sena-Dias

Resolução de exercícios dos capitulos 3 e 4 do livro de texto