Sumários
Exercícios correspondentes nas secões 4 e 5
5 dezembro 2014, 08:30 • Alfonso Zamora Saiz
Aplicações da ortogonalidade. Determinantes.
Exercícios correspondentes nas seções 4 e 5
4 dezembro 2014, 11:00 • Alfonso Zamora Saiz
Aplicações da ortogonalidade. Determinantes.
34ª Aula - Regra de Cramer. Valores, vectores e espaços próprios. Diagonalização de matrizes.
4 dezembro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
Regra de Cramer para resolução de sistemas de equações lineares: prova e exemplo.
Valores próprios, vectores próprios e espaços próprios de transformações lineares e de matrizes: motivação com direcções invariantes sob transformações lineares e definição, multiplicidade geométrica de um valor próprio, exemplos (diferenças entre espaços reais e complexos),
Vectores próprios u1, ..., uk associados a um conjunto de valores próprios distintos, respectivamente λ1, ..., λk são linearmente independentes.
Uma transformação linear num espaço de dimensão finita tem representação diagonal em alguma base do espaço se e só se existe uma base do espaço constituída por vectores próprios.
Matriz diagonalizável e matriz diagonalizante.
Polinómio característico de uma matriz A nxn real ou complexa: definição, os valores próprios (complexos) são os zeros do polinómio característico, factorização em termos lineares com base no Teorema Fundamental da Álgebra (todo polinómio com coeficientes reais ou complexos tem pelo menos um zero complexo), multiplicidade algébrica de um valor próprio, o termo de ordem 0 do polinómio característico é det A=produto dos valores próprios complexos repetidos de acordo com multiplicidade algébrica e o termo de ordem n-1 é (-1) n-1tra A, tra A=soma dos valores próprios complexos repetidos de acordo com multiplicidade algébrica, os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos na diagonal principal, cada com multiplicidade algébrica igual ao nº de vezes que ocorre na diagonal principal.
Invariância de valores próprios, vectores próprios, espaços próprios, polinómio característico sob mudanças de uma base de um espaço linear de dimensão finita.
Exemplo de cálculo de valores próprios de matriz A 3x3 a partir do polinómio característico e de cálculo dos vectores próprios u correspondentes a um valor próprio λ por resolução do sistema linear de equações homogéneo (A-λI3)u=0.