Sumários

Exercícios correspondentes as seções 1.4, 1.5 e 1.6.

24 setembro 2014, 11:00 Alfonso Zamora Saiz

Factorização PA=LU'=LDU. Matrizes elementares E_ij(a). Matrizes de permutação P_ij. Inversão de matrizes.


5ª Aula - Factorização triangular de matrizes e inversas de matrizes quadradas

23 setembro 2014, 10:00 Luis Magalhães

Definição de matriz regular. Factorização triangular de matrizes regulares (A=LDU) . Unicidade da factorização triangular. Factorização triangular de qualquer matriz (PA=LU). Factorização triangular em computação numérica.

Inversas de matrizes quadradas: definição, unicidade, matrizes não singulares, exemplos de cálculo de inversas de matrizes de permutação, matrizes elementares e matrizes diagonais (uma matriz diagonal tem inversa se e só se os elementos na diagonal principal são todos diferentes de 0, produtos finitos de matrizes com inversas A1...AN têm inversas (A1...AN)-1=AN-1...A1-1, a inversa de uma matriz com inversa tem inversa e (A-1)-1=A, a transposta de uma matriz com inversa tem inversa (At)-1=(A-1)t.

Uma matriz nxn A tem inversa se e só se cada sistema de equações lineares A x=b tem solução única para cada b nx1; a solução é x=A-1b.

Uma matriz nxn tem inversa se e só se eliminação de Gauss dá n pivots; A-1 é a solução X de AX=In.

Exemplos de determinação se uma matriz tem inversa por eliminação de Gauss.

Cálculo de inversas de matrizes por eliminação de Gauss.


4ª Aula - Matrizes de permutação, elementares, triangulares, diagonais

22 setembro 2014, 10:00 Luis Magalhães

Matrizes de permutação (cont.): Exemplos de matrizes de permutação. Para matrizes de permutação de pares de linhas (ou colunas) Pij=Pijt. Matrizes de permutação de pares de linhas comutam. Qualquer matriz de permutação é um produto finito de matrizes de permutação de pares de linhas. Matrizes de permutação podem não comutar ou comutar. A multiplicação de uma matriz à esquerda (resp. direita) por uma matriz de permutação reordena as linhas (resp. colunas) da matriz.

Matrizes elementares (cont.): Exemplos de matrizes elementares. Matrizes elementares podem não comutar ou comutar. As componentes fora da diagonal principal de um produto sucessivo de matrizes elementares numa ordem de factores da esquerda para a direita que é subordem da ordem das operações na eliminação de Gauss (por colunas da esquerda para a direita e em cada coluna de cima para baixo por linhas abaixo da correspondente à diagonal principal) são as correspondentes componentes dos factores (com outras ordens pode ser falso). 

Inversão de operações elementares e de permutações de pares de linhas (E(c)-1=E(-c), Pij-1=Pij).  Se X, Y são matrizes elementares ou de permutação, (XY)-1=Y-1X-1. Inversão de qualquer matriz de permutação P: P-1=Pt

Matrizes triangulares superiores e triangulares inferiores. As matrizes elementares e respectivas inversas são triangulares inferiores com 1s na diagonal principal. Produtos de matrizes triangulares superiores (resp. inferiores) são triangulares superiores (resp. inferiores).

Matrizes diagonais. Produtos de matrizes diagonais por matrizes (à esquerda e direita). Exemplos.


Aula 1

19 setembro 2014, 09:30 Rosa Sena-Dias

Exercicios do capitulo 1 do livro de texto


Exercícios Seções 1.2 e 1.3

19 setembro 2014, 08:30 Alfonso Zamora Saiz

Exercícios correspondentes as seções 1.2 e 1.3. Método de Gauss para resolver sistemas de equações lineares. Produto de matrizes.