Aula 7

31 outubro 2014, 09:30 • Rosa Sena-Dias

Exercícios correspondentes nas seções 3.2 e 3.3

31 outubro 2014, 08:30 • Alfonso Zamora Saiz

Mudança de base. Cónicas. L(V,W). Espaços lineares reais e complexos.

Aula 7

31 outubro 2014, 08:00 • Rosa Sena-Dias

Exercícios correspondentes nas seções 3.2 e 3.3

30 outubro 2014, 11:00 • Alfonso Zamora Saiz

Mudança de base. Cónicas. L(V,W). Espaços lineares reais e complexos.

20ª Aula - Isomorfismos entre espaços lineares (cont.): independência linear e bases, isomorfismo entre espaços de transformações lineares em dimensão finita e espaços de matrizes. Exemplos de transformações lineares em dimensão infinita.

30 outubro 2014, 10:00 • Luis Magalhães

Isomorfismos entre espaços lineares transformam conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes, conjuntos que geram um subespaço em conjuntos que geram a imagem do subespaço, bases de um subespaço em bases da imagem do subespaço (em particular, se os espaços lineares isomorfos têm dimensão finita, também bases de um espaço em bases do outro).

Um espaço linear de dimensão n finita é isomorfo a K ⁿ, onde K é o corpo dos escalares (e.g. K=R ou K=C). Fixada uma base de V, um isomorfismo é a função que transforma cada vector nas respectivas componentes na base fixada.

O espaço linear L(V,W) das transformações lineares de um espaço linear V de dimensão n finita num espaço linear W de dimensão m finita  é isomorfo ao espaço linear das matrizes mxn com componentes escalares (K^mxn onde K é o corpo de escalares). Fixadas uma base em V e uma base em W um isomorfismo é a função que transforma cada transformação linear de V em W na respectiva representação matricial nas bases fixadas.

Se U, V, W são espaço lineares com os mesmos escalares, T é uma transformação linear de U em V, S é uma transformação linear de V em W, fixada uma base em cada um dos espaços U, V, W se a representação matricial de T e S nas correspondentes bases são as matrizes, respectivamente, A e B, então, a representação matricial de ST nas correspondentes bases é BA (a composição de transformações lineares entre espaços lineares de dimensão finita corresponde à multiplicação das matrizes que as representam).

Exemplos de transformações lineares em dimensão infinita: (1) limite no espaço linear das sucessões de termos reais com limite; (2) derivada no espaço das funções C ¹ com valores reais definidas num intervalo de R; depois de definido o integral verificarão que também define transformações lineares (as noções de Análise Matemática limite, derivada e integral definem transformações lineares)

Revisão:

Apesar dos polinómios reais serem funções, o espaço P_n dos polinómios de grau menor ou igual a um n fixo tem dimensão n+1 finita. Determinar a representação matricial da derivada D de P_n em P_n em relação à base ordenada de P_n cujos elementos são as funções potência de expoentes j=0,...,n.

Quais são os valores das constantes reais a, b, d, k para as quais a função de R ² em R ² tal que T(x,y)=(2x+ay²+b, k(e^x-1)+3y+dxy) é transformação linear?