Sumários
11ª Aula - Independência linear (cont.), bases e dimensão
7 outubro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
Independência linear (cont. de exemplos): funções exponenciais reais de variável real uk(t)=eakt, com ak reais, para k=1,...,n, são linearmente independentes se e só se os a ksão distintos (logo, há conjuntos linearmente independentes com a cardinalidade dos nºs reais.
Independência linear (propriedades gerais): vectores que incluam o vector 0 são linearmente dependentes; vectores que incluam um par de vectores iguais são linearmente dependentes; se alguns dos vectores considerados são linearmente dependentes, todos são linearmente dependentes; se os vectores considerados são linearmente independentes, quaisquer deles são linearmente independentes; quaisquer vectores são linearmente dependentes se e só se pelo menos um deles é combinação linear dos outros.
As colunas de uma matriz A com componentes escalares são linearmente independentes se e só se o sistema de equações lineares Ax=0 tem solução única. Quaisquer n>m vectores de Rm são linearmente dependentes.
Bases e dimensão de espaços lineares: definição; existência e unicidade de representação de qualquer vector do espaço como combinação linear de uma base; definição de componentes ou coordenadas de vectores de um espaço numa base do espaço; bases ordenadas como sistemas de coordenadas ou referenciais.
Para uma matriz em escada de linhas U, as colunas com pivots são uma base do espaço das colunas, as linhas não nulas são uma base do espaço das linhas, as dimensões destes espaços são iguais e iguais à característica da matriz; uma base do núcleo obtém-se atribuindo às incógnitas livres de U x=0 valores 0 com excepção de uma delas a que se atribui o valor 1 e obtendo a correspondente solução desse sistema de equações lineares; a dimensão do núcleo de U é o nº de colunas menos a característica.
Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: base canónica de R n, dim R n=n; exemplo de base não canónica de R2 e cálculo das correspondentes componentes de qualquer vector de R2; determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas e do núcleo de matriz em escada de linhas.
10ª Aula - Continuação de operações de conjuntos com espaços lineares. Combinações lineares, expansões lineares, independência linear
6 outubro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
O produto cartesiano de um conjunto numerável de espaços lineares reais com as operações definidas componente a componente é espaço linear real: prova e exemplos.
Uniões de subespaços lineares de um espaço linear podem não ser um espaço linear. Soma de subconjuntos de espaço linear: definição, a soma de subespaços lineares de um espaço linear é espaço linear e é o menor subespaço linear do espaço linear considerado que contém a união dos subespaços lineares.
Combinações lineares de vectores e de subconjuntos de espaço linear: definição e exemplos.
Expansão linear de ou espaço gerado por subconjunto não vazio de espaço linear. Definição de expansão linear do subconjunto vazio de um espaço linear como sendo {0}. A expansão linear de um subconjunto S não vazio de espaço linear V é um espaço linear; é o menor subespaço linear de V que contém S. Exemplos de expansão linear de conjuntos (R 2 é gerado por dois (ou mais) vectores não colineares; uma recta em R2 que passe na origem é gerada por um (ou mais) vectores diferentes de 0; o espaço linear dos polinómios reais de grau menor ou igual a nº natural n fixo pode ser gerado por n+1 (ou mais) polinómios (apropriados); o espaço linear de todos os polinómios reais pode ser gerado por um conjunto infinito numerável de polinómios (apropriados); o conjunto dos termos independentes b com componentes reais tais que existe pelo menos uma solução de sistema de equações lineares Ax=b, em que A é matriz mxn real, é o subespaço linear de R m gerado pelas colunas de A, a que se chama espaço das colunas de A; tem solução se e só se b pertence ao espaço das colunas de A; chama-se espaço das linhas de A ao espaço linear gerado pelas linhas de A).
Vectores/conjuntos linearmente independentes e vectores/conjuntos linearmente dependentes: definição, exemplos de determinação se vectores dados são linearmente independentes ou dependentes (vectores em R n e aplicação da resolução de sistemas de equações lineares; funções potência em espaços lineares de polinómios reais; sin at e cos at, com a não nulo 0 são linearmente independentes no espaço linear das funções reais de variável real; sin 2at, cos2at, 1 são linearmente dependentes nesse espaço).
Exercícios correspondentes as seções 2.1 e 2.2
3 outubro 2014, 08:30 • Alfonso Zamora Saiz
Espaços lineares. Subespaços lineares. Exemplos. Espaço das colunas e espaço nulo de uma matriz.