Sumários
14ª Aula - Teorema da característica e da nulidade. Invertibilidade de matrizes à direita e à esquerda e sistemas de equações lineares. Mudança de base.
16 outubro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
Para matriz A, define-se rank A = dim R(A) = característica de A. nul A = dim N(A) = nulidade de A.
Teorema da característica e da nulidade: Se A é matriz com n colunas, então nul A + rank A = n, e rank AtA = rank A = rank At.
Se A e B são matrizes com o nº de colunas da 1ª = ao nº de linhas da 2ª, então rank AB é menor ou igual a min{rank A, rank B}.
Se A é matriz mxn,
(1) Os sistemas Ax=b têm solução para todo b se e só se rank A=m (m menor ou = n), e também se e só se A tem inversa à direita.
(2) Os sistemas Ax=b não têm mais de uma solução para todo b se e só se rank A=n (n menor ou = m), e também se e só A tem inversa à esquerda.
(3) Os sistemas Ax=b têm solução única para todo b se e só se m=n e A é não singular, ou seja tem inversa à direita e à esquerda.
Se A é matriz quadrada, então A tem inversa à direita se e só se tem inversa à esquerda, e, então, as inversas são iguais (A é não singular).
Mudança de base: matriz de mudança de base, mudança de coordenadas com mudança de base (vectores transformam-se contravariantemente), exemplo com rotação de coordenadas.
13ª Aula - Existência de cardinalidade arbitrariamente grande. Rectas, planos, planos-k. Geometria das soluções de sistemas de equações lineares
14 outubro 2014, 10:00 • Luis Magalhães
A cardinalidade de todos os intervalos de nºs reais é a mesma e maior do que a do conjunto dos nºs naturais.
Conjunto P(A) dos subconjuntos de um conjunto A. Se A é finito e #A=n, então #P(A)=2 n>n=#A.
Para todos os conjuntos A é #P(A)>#A (prova por argumento diagonal de Cantor generalizado). Há conjuntos com cardinalidade arbitrariamente grande.
Referência à Hipótese do continuum e a que foi provado (Gödel, 1940) que no quadro da axiomática de conjuntos Zermelo-Frankel-Axioma da Escolha (ZFE) não pode ser provada falsa, e também (Cohen, 1963) não pode ser provada verdadeira.
Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares ou espaços afins de dimensão k) em R n, k=0,1,...,n: definição, equações cartesianas.
Geometria das soluções de sistemas de equações lineares: (1) existência e inexistência de solução, (2) conjunto das soluções, nos casos de 0 soluções, 1 e infinitas soluções.