Sumários
9ª Aula prática
27 abril 2015, 15:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha Integrabilidade e convergência.
9ª Aula prática
27 abril 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 7, Ficha Integrabilidade e convergência.
35ª Aula - Exemplos de aplicação dos teoremas de convergência monótona e dominada da integração. Correspondentes teoremas para séries.
27 abril 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Observação: Comparação de hipóteses e teses dos teoremas de Convergência Monótona de Levi e de Convergência Dominada de Lebesgue.
Exemplo:
(1) Funções definidas por fa(x)=x-a, para x>0 , são integráveis em [1,+∞ [ se a>1 e ∫1+∞fa=1/(a-1) ,
e se a≤1 fa não é integrável em [1,+∞ [. Apesar do domínio de integração ser iimitado, para a>1 o integral existe, logo a área do conjunto de ordenadas é finita apesar do conjunto ser ilimitado.
(2) Aplicação do Teorema de Convergência Monótona de Levi para obter integrabilidade e o integral de função em ℝ2.
Observação: Integrais impróprios (à Riemann) em intervalos de ℝ e dificuldades com integrais impróprios em mais variáveis devido à perda de ordenação compatível com as operações.
Proposições: Teoremas de Convergência para séries:
(1) Convergência Monótona: Se ∑∞k=1∫S|gk| converge,
ou
(2) Convergência Dominada: Se ∑∞k=1|g| converge q.t.p. em S e ∑∞k=1|gk|≤h∈L(S) ,
então
∑∞k=1∫Sgk converge, ∑∞k=1gk→G∈L(S) q.t.p. em S , e ∑∞k=1∫Sgk=∑∞k=1∫Sgk .
Observação: Estes resultados de troca do integral com a série são válidos para integrais de Lebesgue com estas hipóteses
naturais, que são a aplicação directa das hipóteses dos correspondentes teoremas para sucessões às sucessões de somas
parciais das séries. No caso da demonstração do resultado de convergência monótona a aplicação do teorema para sucessões
faz-se separadamente às partes positiva e negativa.
9ª Aula prática
27 abril 2015, 10:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 7, Ficha Integrabilidade e convergência.
9ª Aula prática
24 abril 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 7, Ficha Integrabilidade e convergência.