Exemplo: Campo escalar em ℝ² com derivadas parciais cruzadas D₁₂f ≠ D₂₁f num ponto. 

Proposições: Teorema de valor intermédio com derivadas de 2ª ordem: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ² aberto, tem derivada D₂₁f em D , a=(a₁,a₂) e h=(h₁,h₂) são tais que R_h=[a₁,a₁+h₁]x[a₂,a₂+h₂]⊂int D , então existe c∈R_h tal que [f(a₁+h₁,a₂+h₂) - f(a₁+h₁,a₂)] - [f(a₁,a₂+h₂) - f(a₁,a₂)] = D₂₁f(c)h₁h₂. 

Enunciado de Proposição: Lema de Schwarz: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝⁿ, D_if, D_i,jf existem e D_i,jf é contínua em a∈int D, em que i=(i₁,...,i_p)∈{1,...n}^p, j=(j₁,...,j_q)∈{1,...,n}^q fixos, então D_j,if(a) existe e D_j,if(a)=D_i,jf(a) .

(1) Descrição geométrica do gradiante de um campo escalar diferenciável e relação f´(a;u) = comprimento da projecção de ∇f(a) sobre u, com ||u||=1 .Cálculo de equações cartesianas de planos tangentes a gráficos de funções diferenciáveis de mais de uma variável real.

(2) Teorema de Lagrange para funções reais de variável real.

Proposição: Teorema de valor intermédio do cálculo diferencial ou Teorema de Lagrange para campos escalares: se a,b∈ℝⁿ e o segmento de recta r que liga a a b está contido no interior do domínio de diferenciabilidade de um campo escalar f, então existe c∈r\{a,b} tal que f(b)-f(a)=[f´(c)](b-a)=∇f(a)·(b-a) .

Observação: Este teorema pode-se aplicar a cada componente de um campo vectorial, mas pode acontecer que o ponto intermédio c seja diferente para diferentes componentes, pelo que pode não haver um ponto intermédio que dê simultaneamente as diferenças dos valores em a e b de todas as componentes, ou seja para campos vectoriais a afirmação é, em geral, falsa!

Definição: Subconjunto convexo de ℝⁿ.

Proposição: Se f é um campo escalar ou vectorial diferenciável num conjunto aberto convexo D⊂ℝⁿ e f´=0 em D, então f é constante em D .

Enunciado de Proposição: Se um campo escalar ou vectorial é C¹ num subconjunto aberto D⊂ℝⁿ, então é diferenciável em D.
Exemplo: Aplicação deste resultado a um campo escalar concreto definido em ℝ² em que as derivadas parciais na origem têm de ser calculadas pelo limite das respectivas razões incrementais.

Definições: Derivada de uma função f num ponto a segundo um vector v≠0, f´(a;v) e derivada direccional na direcção de v, f´(a;v/||v||) .

Proposições:
(1) f´(a;v) para v≠0 existe se e só se a derivada direccional de f na direcção de v existe, e em caso afirmativo f´(a;v)=||v|| f´(a;v/||v||) .
(2) Se f é diferenciável num ponto a e v≠0, então f´(a;v) = [f´(a)](v) = Df(a)v .

Exemplo: Campo escalar em ℝ² com derivada em 0 segundo qualquer vector v≠0 e descontínuo em 0, logo não diferenciável em 0 .

Definições: curva num subconjunto de ℝⁿ; vector tangente a curva; vector ortogonal a curva.

Descrição geométrica: Gradiante de um campo escalar f com domínio em ℝⁿ: ∇f(a)∈ℝⁿ ⊥ curva de nível no ponto a , com o sentido para onde f cresce e comprimento igual à derivada direccional de f em a na direcção do vector em que a derivada direccional em a é máxima.
Se f é diferenciável no ponto a , a derivada direccional na direcção de um vector v≠0 é + ou - o comprimento da projecção ortogonal de ∇f(a) sobre v conforme v aponta para onde f cresce ou decresce.