Sumários

20ª Aula - Sucessões de Cauchy, espaços normados completos, Rn é espaço completo. Contracções, teorema de contracção, cálculo de aproximações de ponto fixo de contracção e de solução de equação correspondente

24 março 2015, 11:30 • Luis Magalhães

Observação: Relação de inversão de função, resolução de equação e existência de ponto fixo de função.

Definições:
(1) Contracção (função que contrai distâncias). 
(2) Sucessão de Cauchy. 
(3) Espaço normado completo (espaço normado em que sucessões de Cauchy convergem).
Observações:  
(1) ℚ não é completo e ℝ é completo. 
(2) Qualquer espaço normado pode ser completado (semelhante a completar ℚ com ℝ). 

Proposição: ℝn com a norma canónica (ou equivalente) é um espaço completo. 

Proposição: Teorema de contracção: Toda contracção Q num subconjunto fechado ∅≠F⊂ℝn tem um ponto fixo x*∈F; para todo u∈F, Qk(u)→u* exponencialmente.

Observações:
(1) O Teorema de Contracção dá um método numérico para obter sucessão de aproximações do ponto fixo (logo da solução da equação correspondente) por iteração sucessiva da contracção Q a partir de qualquer u∈F.
(2) O Teorema de Contracção pode ser aplicado em qualquer espaço normado completo, o que, por exemplo, é útil em espaços de funções, como no caso de equações diferenciais ou integrais.
(3) A noção de derivada e correspondentes aplicações pode ser considerada em espaço normados completos, inclusivamente para identificar extremos de funções com valores reais dependentes de funções em problemas de optimização em dimensão infinita de interesse prático em muitas aplicações.

5ª Aula prática

23 março 2015, 15:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; Ficha5c.

5ª Aula prática

23 março 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; Ficha5.

19ª Aula - Motivação do Teorema da Função Inversa e existência de inversa local de função diferenciável com jacobiano contínuo e diferente de 0 num ponto

23 março 2015, 11:30 • Luis Magalhães

Exemplo: Exemplo concreto em ℝ2 de identificação de máximo absoluto  de campo escalar C2 mostrando que o limite no infinito é -∞ e aplicando o Teorema de Weierstrass para provar que os maiores máximos relativos são absolutos.

Motivação: Teorema da Função Inversa para função f como prova de existência e unicidade de solução de equação f(x)=y. Referência a classes restritas de funções para que é possível determinar soluções explícitas: sistemas de equações lineares em dimensão finita, equações polinomiais em ℝ de 2ª, 3ª ou 4ª ordem e equações particulares que por transformações de variáveis ou simetrias podem ser reduzidas a esses casos. Necessidade de obter existência, unicidade (ou nº de soluções), conjuntos a que pertencem, propriedades gerais e métodos de cálculo numérico aproximado.

Revisão: Condição de existência de inversa de transformação linear em dimensão finita. Expectativa de poder estabelecer a existência de inversas locais de funções diferenciáveis em vizinhanças de pontos em que a matriz jacobiana é não singular, devido a existência de plano tangente dado por transformação linear invertível.

Definição: Jacobiano de função f:D→ℝn, com D⊂ℝn, Jf(x)=det Df(x).

Exemplo: Função de ℝ2 em ℝ2 com jacobiano ≠0 em todos os pontos.

Proposição: Existência de inversa local: Se f:D→ℝn, com D⊂ℝn aberto, a∈D, f é diferenciável em D com derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em a e jacobiano Jf(a)≠0 , então existe X⊂D aberto com a∈X tal que a restrição f|X de f a X tem inversa.

Exemplo: Função de ℝ2 em ℝ2 C∞ com jacobiano ≠0 em todos os pontos, mas não invertível (inevitabilidade de consideração de inversas locais).

5ª Aula prática

23 março 2015, 10:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; Ficha5.