Sumários
49ª Aula - Domínio regular, normal exterior a domínio regular. Referência a Teorema da Curva de Jordan. Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais Múltiplos.
22 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Proposição: Integrabilidade e integral em subconjunto de variedade diferencial em ℝn é invariante com mudança de cobertura admissível e de partição da unidade subordinada a uma tal cobertura.
Observações:
(1) As partições da unidade são um instrumento poderoso conceptual para juntar contribuições de grandezas distribuídas espacialmente, em vizinhanças de coordenadas diferentes, pois evitam questões delicadas de eventuais fronteiras de separação de elementos de partições de subconjuntos de variedades diferenciais cada um contido numa vizinhança de coordenadas, difíceis de resolver conceptualmente. Contudo, uma vez legitimada a definição e propriedades com partições da unidade o cálculo em casos concretos passa por encontrar partições do tipo indicado e aplicar a aditividade do integral em relação ao domínio de integração (até numerável se for usado o integral de Lebesgue).
(2) O integral em variedades-m em ℝn tem propriedades gerais semelhantes às de integrais múltiplos e integrais de linha. O centróide de um subconjunto S de uma variedade-m define por integrais análogos aos de integrais múltiplos. A partir de uma densidade de uma grandeza escalar em relação a a volume m-dimensional pode ser calculada a grandeza total num subconjunto da variedade por integração da densidade, o centro dessa grandeza no subconjunto (se a densidade for de massa o centro de massa, momentos de inércia, etc.).
Revisão e motivação: Teorema Fundamental do Cálculo num intervalo de ℝ e ideia de estabelecer resultado análogo para integrais múltiplos em conjuntos abertos limitados de D⊂ℝn com fronteira ∂D que é uma variedade-(n-1) que dá a igualdade do integral múltiplo em D de uma função definida por derivadas de um campo vectorial f a um integral de uma função definida por valores de f na variedade-(n-1) ∂D.
Definição: Chama-se domínio regular em ℝn a D⊂ℝn limitado e aberto tal que qualquer que seja a∈∂D existe aberto U , com a∈U e função C1 Φ:U→ℝ tais que ∇Φ
≠0 em U ,
Φ=0 é equação cartesiana de
∂D em U e D∩U={x
∈U: Φ(x)<0} .
Observação: A fronteira de um domínio regular em ℝn é uma variedade-(n-1) compacta que tem pontos de D num e só um dos seus lados.
Proposição: D⊂ℝn limitado e aberto é domínio regular se e só se ∂D é variedade-(n-1) compacta e
∂D = ∂D .
Observação: É resultado local. Em ℝ2
há um importante resultado topológico global relacionado, mas difícil, provado em 1905 por Oswald Veblen depois de várias tentativas com erros, algumas por C. Jordan -- o Teorema da Curva de Jordan:
uma curva simples fechada em ℝ2 é fronteira de dois conjuntos abertos disjuntos,
um ilimitado e outro limitado, que com a curva formam uma partição de ℝ2.
Definição: Normal exterior a fronteira de domínio regular em ℝn e normal exterior unitária ν(x)=∇Φ(x)/||∇Φ(x)|| para x∈∂D , com Φ como na definição de domínio regular.
Proposição: Para todo o domínio regular D em ℝn existe uma única normal unitária exterior definida em cada ponto de ∂D , e é função contínua em ∂D .
Motivação: Obtenção de fórmula para Teorema Fundamental do Cálculo em domínios regulares para campo vectorial com suporte numa vizinhança de um ponto da fronteira do domínio regular onde a fronteira é gráfico de uma função C1 de um aberto de ℝn-1 em ℝ .
Definição: Chama-se divergência de um campo vectorial f com derivadas parciais num aberto D⊂ℝn a div f = ∂f1/∂x1 + ··· + ∂fn/∂xn .
Proposição: Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais Múltiplos ou Teorema da Divergência em ℝn :
Se D⊂ℝn é um domínio regular e f:D→ℝn é C1, então ∫D div f = ∫∂D f·ν .
48ª Aula - Partições da unidade em subconjuntos de variedades diferenciais subordinadas a coberturas admissíveis. Integral e integrabilidade de campos escalares em variedades diferenciais.
21 maio 2015, 13:00 • Luis Magalhães
Proposição: Integral de um campo escalar num subconjunto de vizinhança de coordenadas de variedade diferencial em ℝn é invariante sob mudança de parametrização.
Motivação: Como juntar contribuições para o integral de vizinhanças de coordenadas diferentes para abranger casos em que se pretende integrar um campo escalar num subconjunto de uma variedade diferencial que não está incluído em qual vizinhança de coordenadas: somas ponderadas com funções de peso C∞ não negativas que somam 1 e têm suporte compacto.
Definições:
(1) Coberturas admissíveis de subconjunto de variedade diferencial em ℝn.
(2) Partição da unidade em subconjunto de variedade diferencial em ℝn subordinada a cobertura admissível.
(3) Integrabilidade e integral de campo escalar em subconjunto de variedade diferencial em ℝn.
(4) Subconjunto mensurável de variedade diferencial em ℝn e volume (m-dimensional) de subconjunto de variedade diferencial em ℝn.
Proposição: Qualquer que seja o subconjunto S de uma variedade diferencial em ℝn e a cobertura admissível F de S , existe partição da unidade em S subordinada a F. Se, adicionalmente, S é compacto a partição da unidade pode ser finita.
13ª Aula prática
21 maio 2015, 08:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 9 e 10. Mini-teste.
47ª Aula - Cálculo de volumes e de integrais de funções escalares sobre subconjunto de vizinhança de coordenadas de variedade diferencial.
19 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão: Definição de volume-m de subconjunto S de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-m M em ℝn e de integral de campo escalar em S . Cálculo do volume-m de paralelepípedo-m em ℝn por raiz quadrada do determinante da matriz de Gram dos vectores que definem as arestas do paralelepípedo.
Observação: Se g é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de um variedade-m em ℝn a matriz de Gram dos vectores D1g(t), ... Dmg(t) define um produto interno em TaM , com a=g(t) , a que se chama métrica induzida por g em TaM , o que é uma base para introdução de noções métricas sobre a variedade M em que se baseia a Geometria Riemanniana.
Exemplos: Diferentes fórmulas de cálculo de volume-m de paralelepípedos-m em ℝn (casos particulares m=1: norma do vector; m=2: matriz de Gram 2x2 das arestas do paralelogramo; m=2 e n=3: norma do produto externo das arestas do paralelogramo; m=n-1, m=n: generalização da norma de vector obtido por função (n-1)-linear análoga ao produto externo de 2 vectores de ℝ3; M=n: valor absoluto da norma da matriz cujas linhas são as arestas do paralelepípedo). Cálculo de áreas de superfícies que admitem uma parametrização a menos de conjunto de medida nula em casos concretos.
Proposição: O volume-m do gráfico de função C1 f:S→ℝ , com S⊂ℝn, é Vm(S) = ∫S (1+||∇f||2)1/2.
12ª Aula prática
18 maio 2015, 15:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 9 e 10. Mini-teste.