Sumários

13ª Aula prática

29 maio 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; Ficha 12 e 13. Mini-teste.

53ª Aula - Potenciais escalares e potenciais vectoriais. Referência a extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para o caso geral de variedades-m em Rn. Pontos e valores críticos e regulares e condição para o complementar dos pontos críticos num conjunto de nível quando não vazio ser variedade diferencial.

29 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães

Definição: Campos vectoriais em  ℝ3 irrotacionais e solenoidais.

Revisão: Para um campo C1 num aberto S⊂ℝn ser um gradiante é necessário que seja irrotacional. A condição é também suficiente se S é simplesmente conexo. Se φ e ψ são potenciais escalares do mesmo campo vectorial C1 em S⊂ℝn aberto, então diferem de uma constante em cada componente conexa de S .

Definição: Se f=rot A em S⊂ℝ3 diz-se que A é um potencial vectorial de f .

Proposição: Para um campo C1 num aberto S⊂ℝ3 ser um rotacional é necessário que seja solenoidal. A condição também é suficiente se S é um conjunto em estrela (tal como para o gradiante é possível dar condições mais fracas). Se A e B são potenciais vectoriais do mesmo campo vectorial C1 em S⊂ℝ3 aberto simplesmente conexo, então diferem de um gradiante.

Proposição: Teorema de Helmoltz: Se S⊂ℝ3 é uma bola aberta e f:S→ℝ3 é C2 , então existem φ e A tais que f = grad φ + rot A .

Observação: A condição de S⊂ℝ3 ser uma bola aberta pode ser enfraquecida para S ser um conjunto em estrela e a fronteira tal que a equação de Poisson lap φ = ρ , em que ρ=div f , tenha solução (e esta condição ainda pode ser mais fraca).

Definição: Se f = grad φ + rot A diz-se que φ e A são um par de potenciais escalar e vectorial de f .

Observações:
(1) Obtiveram-se teoremas fundamentais do cálculo para variedades-m em ℝn nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou Teorema da Divergência), m=2 e n=3 (Teorema de Stokes em variedades-2 em ℝ3. Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também é possível dar um Teorema Fundamental do Cálculo, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝn. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações g de variedades-m em ℝn correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝn devem ter k componentes.
Para m=1 é k=n e, portanto são campos vectoriais em ℝn que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ3 que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ3; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝn. Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ4 devem ser de funções com 6 componentes, integrais em variedades-2 em ℝ5 ou em variedades-3 em ℝ5 devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝn, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m .
A fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo ou Teorema de Stokes em variedades-m em ℝn é simplesmente  ∫Aodω = ∫∂Aoω , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝn orientável, o em Ao é uma orientação desta variedade e em ∂Ao é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(n-1) C1 no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do Teorema da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .
(2) O Teorema de Stokes com formas diferenciais unifica os teoremas fundamentais do cálculo considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝn a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝn corresponde ao gradiante do campo escalar associado, e no caso de formas-1 em ℝ3 corresponde ao rotacional do campo vectorial associado.
(3) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C1 ou C2 obtém-se a versão geral do Teorema de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.
(4) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.
(5) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ3 corresponde a campos vectoriais irrotacionais. Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta.

Definição: Se S⊂ℝn é aberto e  f:S→ℝp é C1  chama-se ponto regular de f a x∈S tal que f´(x):ℝn→ℝp é sobrejectiva (i.e. rank Df(x)=p no caso de p≤n ). Chama-se ponto crítico de f a x∈S que não é ponto regular. Chama-se valor crítico de f a y∈ℝp tal que a preimagem f-1({y}) contém pelo menos um ponto crítico. Chama-se valor regular de f a y∈ℝp que não é valor crítico de f .

Observação: Se n<p todos os pontos são críticos.

Proposição: Se S⊂ℝn é aberto e  f:S→ℝp é Ck, com k≥1 e p<n , então cada conjunto de nível de f menos o conjunto dos pontos críticos se for ≠∅ é uma variedade-(n-p) Ck em ℝn. Em particular, se c é um valor regular de f , f-1({c}) se ≠∅ é variedade-(n-p) Ck em ℝn.

52ª Aula - Aplicações e extensões do Teorema Fundamental do Cálculo. Homotopia de caminhos fechados e invariância de integrais de linha sobre caminhos fechados homotópicos. Conjuntos simplesmente conexos e suficiência de um conjunto ser simplesmente conexo para um campo fechado ser gradiante.

28 maio 2015, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Teorema Fundamental do Cálculo ou Teorema de Stokes em variedades-2 em ℝ3 e decrição geométrica de direcção, sentido e intensidade do rotacional.

Observações:
(1) Pode-se calcular fluxos de um campo vectorial F através de superfícies que são domínios regulares em variedade-2 em ℝ3 por integrais de linha no bordo, escolhendo rot f = F , e até áreas de superfícies escolhendo rot f · n = 1 , e vice-versa pode-se calcular integrais de linha no bordo (circulação, trabalho) de um campo vectorial calculando o fluxo de rot f na superfície.
(2) Como funções contínuas podem ser uniformemente aproximadas por funções Ck (k≥1), o Teorema Fundamental do Cálculo generaliza-se para variedades diferenciais com cantos. Por exemplo, no Teorema da Divergência em vez de ∂D ser variedade-(n-1) pode ser ∂D=A1∪···∪AN∪B tal que para cada k=1, ..., N existe aberto Uk⊂ℝn com Ak=∂D∩Uk e ∂D∩Uk está contido em variedade-(n-1) Mk, B é conjunto compacto contido numa união finita de variedades-(n-2)  e (∂D∩Uk)∩(∂D∩Uj)⊂B , para k≠j ; e analogamente para o Teorema de Stokes.
(3) Em qualquer variedade-2 M compacta em ℝ3 orientável o fluxo do rotacional de qualquer campo vectorial C1 em M é 0 (semelhante ao integral de linha do gradiante de qualquer campo C1 sobre curvas regulares simples fechadas ser 0 ).
(4) Um domínio regular numa variedade-2 em ℝ3 orientável pode não ser simplesmente conexo ou até pode ser desconexo, e pode ter bordo desconexo mesmo sendo conexo (e.g. a superfície de um cilindro).

Definição: Se S⊂ℝn, caminhos fechados go, g1:[a,b]→S são homotópicos em S se existe uma função contínua H:[0,1]x[a,b]→S tal que H(s,a)=H(s,b) , para s∈[0,1] , com H(0,t)=g0(t) e H(1,t)=g1(t) para t∈[a,b] . Chama-se a H homotopia em S de g0 para g1 . Se H é Ck chama-se homotopia Ck em S e diz-se que os caminhos fechados g0 e g1 são homotópicos-Ck em S .

Exemplo: Se S⊂ℝn todos os caminhos fechados Ck (com k≥0 ) definidos em [a,b]⊂ℝ são homotópicos-Ck em S (uma homotopia-Ck é H(s,t)=(1-s)g0(t)+sg1(t) ).

Proposição: Se f:S→ℝn é um campo vectorial fechado num conjunto aberto  S⊂ℝn, então integrais de linha sobre caminhos fechados homotópicos-C2 em S são iguais.

Observação: Como funções contínuas podem ser uniformemente aproximadas por funções C2, esta proposição é válida substituindo caminhos fechados homotópicos-C2 em S por caminhos seccionalmente regulares homotópicos em S .

Definição: Diz-se que S⊂ℝn é um conjunto simplesmente conexo se todo caminho fechado em S é homotópico a um caminho constante.

Observação: Um conjunto é simplesmente conexo se cada curva fechada nele pode ser deformada para um ponto sem sair desse conjunto. Uma coroa circular em ℝ2 não é simplesmente conexa, mas uma coroa esférica em ℝ3 é simplesmente conexa. Uma bola em ℝ3 furada cilindricamente não é simplesmente conexa, mas também uma bola de ℝ3 com uma um concavidade interior em forma de toro não é simplesmente conexa, apesar da superfície exterior ser uma superfície esférica inteira.

Proposição: Se S⊂ℝn é um conjunto aberto e f:S→ℝn é C1, uma condição suficiente para que f ser fechado em S seja necessário e suficiente para ser gradiante em S é que S seja simplesmente conexo.

Obsevação: Esta condição suficiente é mais fraca do que a anterior de S ser um conjunto em estrela.

14ª Aula prática

28 maio 2015, 08:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; Ficha 12 e 13. Mini-teste.

51ª Aula - Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema de Stokes) em variedades-2 orientáveis em R3. Definição e descrição geométrica de rotacional de campo vectorial.

26 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães

Motivação: Teorema Fundamental do Cálculo em domínios regulares de variedades-2 em ℝ3. Obtenção do operador diferencial a utilizar no integral num domínio regular A de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em ℝ3 através da parametrização g correspondente e do Teorema de Green em ℝ2, ou seja da projecção do rotacional na normal unitária D1gxD2g a A induzida pela parametrização, designadamente obtenção do rotacional de um campo vectorial.

Definições:
(1) Se S⊂ℝn é aberto e f:S→ℝ3, chama-se rotacional de f a rot f =(D2f3-D3f2 , D3f1-D1f3 , D1f2-D2f1) . Também se designa por ∇xf .
(2) Diz-se que uma variedade-2 M em ℝ3 é orientável se existe um campo vectorial contínuo de normais unitárias a M , i.e. n:M→ℝ3 tal que n(x)⊥TxM , ||n(x)||=1 . Diz-se que n define uma orientação de M .
(3) Chama-se domínio regular A numa variedade-m M em ℝn a um subconjunto de M limitado e aberto relativamente a M tal que ∂A é uma variedade-(m-1) em ℝn e ∂A=∂A , em que, para S⊂M , ∂S é a fronteira de S relativamente a M , ∂S=S\S , a que se chama bordo de S.

Observações:
(1) Se g:V→ℝ3 é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em ℝ3, então g(V) é orientável e a orientação induzida por g é n(x) = (D1gxD2g)/||D1gxD2g|| (g-1(x)) , logo, as variedades-2 são localmente orientáveis.
(2) Há variedades-2 em ℝ3 não orientáveis, como por exemplo uma banda de Möbius.

Proposição: Teorema Fundamental de Cálculo em variedade-2 em ℝ3 (Teorema de Stokes): Se M⊂ℝ3 é uma variedade C2 orientável, com orientação n , A⊂M é um domínio regular em M , f é um campo vectorial C1 em A com valores em ℝ3, β designa caminhos que representam o bordo ∂A , então ∫Arot f·n = ∮∂Af·dβ .

Observações:
(1) O lado esquerdo da fórmula do Teorema de Stokes é o fluxo do rotacional do campo vectorial f através do domínio regular A na variedade-2 M em ℝ3 na direcção da normal unitária n e o lado direito é a circulação do campo vectorial f no bordo de A no sentido antihorário quando visto do lado para onde n aponta.
(2) Considerando para um ponto a∈ℝ3 domínios regulares Aε de variedades-2 M em ℝ3 tais que a∈Aε com área V2(Aε)→0 quando ε→0 , como se f é C1 então rot f é C0, obtém-se que rot f(a)·n(a) é o limite da circulação de f (do trabalho de f se é um campo de forças) em torno de a em curvas regulares simples fechadas contidas em variedades-2 que contêm a e têm plano tangente em a normal a n , quando a linha fechada tende para a .
(3) rot f · n é um operador diferencial intrínseco do campo vectorial f (como grad f · n ou f´, mas não grad f ou Df ).
(4) Descrição geométrica de rot f(a) : é o vector com direcção normal ao plano onde o limite da circulação em curvas de Jordan no plano que passa em a e contém a no interior da porção do plano que delimita por unidade de área limitada  quando a curva tende para a é máxima, com sentido para de onde se vê a circulação no sentido antihorário, e intensidade igual ao valor do limite referido. |rot f(a)·n| dá o valor do limite análogo da circulação em curvas de Jordan no plano normal a n . Em particular, se rot f(a)≠0 , o valor limite da circulação em planos paralelos a rot f(a) que passam em a é 0 .