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44ª Aula - Variedades diferenciais em Rn: definição por parametrizações de vizinhanças de coordenadas e caracterizações locais por graficos de funções de umas coordenadas cartesianas em função das outras, e por equações cartesianas
14 maio 2015, 13:00 • Luis Magalhães
Motivação: (1) Conceito de variedade diferencial como extensão para dimensão >1 de curvas regulares simples descritas por caminhos regulares simples definidos em intervalos abertos. (2) Rectificação de porções de curvas, planificação de porções de superfícies, generalizações para dimensão >2 , sistemas de coordenadas locais. (3) Impossibilidade de parametrização ou de sistema de coordenadas globais para superfícies esféricas (exemplo mapas da Terra), circunferências ou superfícies de toros , e necessidade de consideração de descrições locais, por parametrizações, gráficos de funções ou equações cartesianas. Uma variedade m-dimensional em ℝn "é localmente como um subconjunto aberto" de ℝm e tem plano-m tangente em cada ponto.
Definição: Parametrização m-dimensional em ℝn(1≤m≤n) : função g:V→ℝn, com V⊂ℝm aberto, C1 que é um homeomorfismo (i.e. uma bijecção contínua com inversa contínua) com derivada injectiva. Diz-se que é uma parametrização Ck, com k∈ℕ ou ∞ , se g é Ck; diz-se que g parametriza g(V) ; quando se consideram pontos g(t) diz-se que t∈V é o parâmetro.
Definição: Chama-se variedade diferencial de dimensão m em ℝn (com 1≤m≤n) a um conjunto ∅≠M⊂ℝn com parametrizações locais m-dimensionais, i.e. qualquer que seja a∈M existe um conjunto aberto U⊂ℝn com a∈U tal que M∩U=g(V) em que g:V→ℝn é uma parametrização m-dimensional. Diz-se que g-1:M∩U→V é um sistema de coordenadas para M∩U e M∩U é uma vizinhança de coordenadas de M .
Observações:
(1) g:V→ℝn, com V⊂ℝm aberto (1≤m≤n), tem derivada injectiva se e só se rank Dg = m (i.e. Dg tem característica máxima)
(2) g é homeomorfismo implica que uma curva em que tem pontos que são limites de pontos correspondentes a valores distantes do parâmetro não é uma variedade-1 porque embora a intersecção da curva com um subconjunto aberto de ℝn que contenha um tal ponto possa ser a imagem de um aberto V⊂ℝ por uma função g C1 injectiva com derivada injectiva, g-1 não é contínua, e, portanto, g não é um homeomorfismo.
(3) ∅≠M⊂ℝn é variedade-n se e só se M é um subconjunto aberto de ℝn; a identidade em M é uma parametrização.
Definições:
(1) ∅≠M⊂ℝn é localmente gráfico de função Ck, com k∈ℕ ou ∞ , de n-m coordenadas de ℝn em função das outras m coordenadas se qualquer que seja a∈M existe um conjunto aberto U⊂ℝn com a∈U, uma permutação (i1,...,in) de (1,...,n) e uma função Ck f:V→ℝn, com V⊂ℝm aberto, tal que M∩U = {(x1,...,xn)∈ℝn: (xim+1,...,xin)= f(i1,...,xim) } .
(2) ∅≠M⊂ℝn tem localmente equação cartesiana Ck, com k∈ℕ ou ∞ , para dimensão m em ℝn se qualquer que seja a∈M existe um conjunto aberto U⊂ℝn com a∈U e uma função Ck F:V→ℝn-m, com V⊂ℝn aberto , com rank DF= n-m (i.e. DF tem característica máxima) tal que M∩U = {x∈U: F(x)=0 } .
Observação: Provar-se-á depois de exemplos que as três caracterizações locais de variedades diferenciais em ℝn (por parametrizações, gráficos e equações cartesianas) são equivalentes, e nos exemplos ilustra-se e usa-se já essas acaracterizações.
Exemplo: Circunferência de raio 1 e centro na origem em ℝ2: (1) equação cartesiana C∞ global para dimensão 1; (2) parametrizações 1-dimensionais C∞ com 2 vizinhanças de coordenadas; (3) gráficos de uma coordenada cartesiana de ℝ2 em função C∞ da outra com 4 funções. O nº de vizinhanças de coordenadas e de gráficos de funções considerados são os mínimos para esta circunferência.
12ª Aula prática
14 maio 2015, 08:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 11. Mini-teste.
43ª Aula - Conclusão e consequências do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Campos conservativos, gradiantes e campos fechados.
12 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão e conclusão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Proposição: Se S⊂ℝn é aberto e conexo, e f:S→ℝn é contínua, as afirmações seguintes são equivalentes:
(1) f é gradiante em S .
(2) f é conservativo em S .
(3) integrais de f em caminhos fechados seccionalmente C1 em S são 0 .
Definição: Se S⊂ℝn é aberto, f:S→ℝn é C1, f=(f1,...,fn) e Difj=Djfi em S para i,j=1,...,n , diz-se que f é um campo fechado em S .
Observação: Um campo é fechado em S se e só se a matriz Jacobiana Df é simétrica em S.
Proposição: Para f:S→ℝn C1 em S⊂ℝn aberto ser gradiante em S é necessário f ser fechado em S .
Observação: A condição é necessária, mas não suficiente, mesmo que S⊂ℝn seja aberto e conexo.
Exemplo: Campo fechado C∞ em S=ℝ2\{(0,0)} que não é gradiante em S : f(x,y)=||(x,y)||-2(-y,x) . Conjuntos máximos em que f é gradiante são ℝ2 \ { (x,0) : x≥0 } ou qualquer conjunto obtido retirando ao plano uma outra qualquer curva simples de (0,0) a infinito.
Observação: Os conjuntos referidos no exemplo são conexos mas muito diferentes topologicamente: para S=ℝ2\{(0,0)} há curvas fechadas em S que delimitam conjuntos com um ponto fora de S, enquanto para S=ℝ2\ {(x,0): x≥0 } não. O último tipo de conjuntos chama-se simplesmente conexo.
Definição: S⊂ℝn é um conjunto em estrela se existe p∈S tal que todos os segmentos de recta com extremidades em p e em qualquer outro ponto de S estão contidos em S .
Proposição: Uma condição suficiente para que f gradiante em S ser equivalente a f fechado em S é que S⊂ℝn seja um conjunto em estrela.
Observação: Ver-se-á depois que uma condição necessária e suficiente para a equivalência entre um campo ser fechado e ser gradiante em S é que S seja simplesmente conexo.
11ª Aula prática
11 maio 2015, 15:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 11. Mini-teste.
11ª Aula prática
11 maio 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 11. Mini-teste.