Proposição: Teorema da Função Implícita: Se F:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ é aberto, m<n, a=(x₀,y₀)∈ℝ^n-mxℝ^m, (x₀,y₀)∈D, F(x₀,y₀)=0, DF é contínua em a , det[∂F/∂y](x₀,y₀)≠0 , então existe X⊂D aberto, com a∈X , U⊂ℝ^n-m aberto com x₀∈U , f:U→ℝ^m diferenciável tal que, para (x,y)∈X , F(x,y)=0 equivale a y=f(x) ; DF(x₀)=-([∂F/∂y](x₀,y₀)])^-1[∂F/∂x](x₀,y₀) ; se F é C^m (com m≥1) , então f é C^m e a fórmula da derivada é válida em X .

Exemplos: Aplicações do Teorema da Função Implícita para funções concretas de ℝ⁵ em ℝ e ℝ⁵ em ℝ² e cálculo de derivadas de funções definidas implicitamente.

Observação: Nestas condições para cada y∈Y o ponto x=f^-1(y) é ponto fixo de uma contracção. Logo, a inversa local de f pode ser calculada aproximadamente em cada ponto como limite dessa contracção a partir de uma aproximação inicial, em que a convergência é exponencial. 

Definição: Diz-se que f:D⊂ℝⁿ→ℝ^m é uma aplicação aberta se transforma abertos relativamente a D em abertos relativamente a f(D).
Proposição: Uma função f:D→ℝⁿ C¹, com D⊂ℝⁿ aberto e det Df≠0 é uma aplicação aberta. 
Exemplo: Verificação das condições de aplicação do Teorema da Função Inversa num caso concreto em que existe inversa local excepto numa recta e não existe inversa global e cálculo da derivada da função inversa.

Observação: O Teorema da Função Inversa dá condições suficientes para existência de inversa local, mas não necessárias (exemplos em dimensão 1).

Proposição: Método de Newton-Raphson para resolução numérica de equações: Se f:[a,b]→ℝ é C², f´≠0 e |f´f´´|<(f´)², então a equação f(x)=0 tem uma única solução em [a,b], e esta pode ser calculada aproximadamente como limite da sucessão {x_n}, com x_n+1=x_n-[f(x_n)]/f´(x_n) e x₁∈[a,b] qualquer, em que a convergência é exponencial.