Sumários
34ª Aula - Convergência de integrais de sucessões de funções integráveis. Exemplo de cálculo de integrais de funções ilimitadas.
24 abril 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Proposição: Teorema de Convergência Monótona de Levi: Se S⊂ℝn, {fk}⊂L(S) é uma sucessão monótona q.t.p. em S e {∫Sfk} é limitada, então existe f∈L(S) tal que fk→f q.t.p. em S e ∫Sf = limk→∞∫Sfk .
Observações: (1) Este teorema pode ser usado para provar integrabilidade e calcular integrais. (2) Para integrais de Riemann é falso e condições adicionais para garantir um resultado nesta direcção têm de ser muito mais fortes e complicadas de aplicar.
Proposição: Teorema de Convergência Dominada de Lebesgue:
Se S⊂ℝn, {fk}⊂L(S) , |fk|≤h∈L(s) q.t.p. em S e fk→f q.t.p. em S ,
então f∈L(S) , { ∫Sfk } converge, e ∫Sf = limk→∞∫Sfk .
Observação: Comparando os dois resultados no Teorema de Convergência Dominada de Lebesgue abandona-se a
hipótese de monotonia da sucessão e introduz-se a hipótese de convergência da sucessão q.t.p. para uma função com módulo
majorado por uma função integrável e obtém-se como
tese que a sucessão de integrais é convergente em vez de a assumir na hipótese.
Exemplo: Funções definidas por fa(x)=x-a, para x>0 , são integráveis em [0,1] se a<1 e ∫01fa=1/(1-a) , e se a≥1 fa não é integrável em [0,1] . Apesar de serem funções ilimitadas para 0<a<1 o integral existe, logo a área do conjunto de ordenadas é finita apesar do conjunto ser ilimitado.
33ª Aula - Aditividade finita do integral em relação ao conjunto de integração. Aproximação de funções integráveis por funções limite superior e por funções em escada. Preparação para teorema de convergência monótona de Levi
23 abril 2015, 13:00 • Luis Magalhães
Demonstração: Aditividade finita do integral em relação ao conjunto de integração (propriedade (6) da aula precedente).
Observação: A definição de integral em S pode ser estendida a funções definidas q.t.p. em S mas não em todo S.
Proposição: Aproximação de funções integráveis num intervalo I por funções em U(I) e por funções em escada em I e dos valores dos respectivos integrais.
Observação: Espaço linear normado L(S) com identificação de funções iguais q.t.p. em S. Referência a que é um espaço normado completo e analogia com completar os nºs racionais com os nºs reais.
Proposições:
(1) Uma sucessão de funções em escada num intervalo I crescente q.t.p. em I com a sucessão de integrais limitada converge q.t.p. em I para uma função de U(I).
(2) Enunciado do teorema de convergência monótona de Levi e ideia de passos de demonstração.
Observação: O teorema de convergência monótona de Levi corresponde a estabelecer que o processo de alargamento do integral de funções em escada num intervalo I para integrais em U(I) por limite de sucessões, quando aplicado a sucessões de funções em L(S) não leva a alargamento porque os limites pertencem a L(S).
9ª Aula prática
23 abril 2015, 08:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 7.
32ª Aula - Definição e propriedades básicas de integral (de Lebesgue) em Rn
21 abril 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Observação: Definições de integral de Riemann de função limitada em intervalo limitado e de integral de função de U(I), com I⊂ℝn um intervalo qualquer, são semelhantes: ambas por aproximações por funções em escada, a 1ª por sup e inf de integrais de funções em escada por baixo e por cima de f, e a 2ª por limite de integrais de sucessões funções em escada por baixo convergentes q.t.p. para f e com a sucessão de integrais majorada; a ideia geométrica de relação com volumes de aproximações por funções em escada é a mesma.
Proposições: (1) Aditividade em U(I). Fecho de U(I) em relação a multiplicação por c≥0 , mas não por c<0 .
Exemplo: Função u∈U(I) com -u∉U(I) .
Definições: (1) Conjunto L(I) de funções integráveis (à Lebesgue) em intervalo I∈ℝn, integral de f∈L(I). (2) Idem para qualquer S⊂ℝn.
(1) L(S) é um espaço linear, f↦∫Sf é uma transformação linear de L(S) em ℝ .
(2) f,g∈L(S), f≤g q.t.p. em S ⇒ ∫Sf ≤ ∫Sg .
(3) f∈L(S), g=f q.t.p. em S ⇒ g∈L(S), ∫Sg = ∫Sf .
(4) f∈L(S), f+=max(f,0), f-=min(f,0) ⇒ f+,f-,|f|∈L(S) e |∫Sf| ≤ ∫S|f| .
(5) f,g∈L(S) ⇒ max(f,g), min(f,g)∈L(S) .
(6) Se S1,S2⊂ℝn, S=S1∪S2 , S1∩S2= ∅ , então:
(a) f1∈L(S1) , f2∈L(S2) , f=f1 em S1 , f=f2 em S2 ⇒ f∈L(S) ,
(b) f∈L(S) , f1=f|S1∈L(S1) ⇒ f2=f|S2∈L(S2) ,
e em ambos os casos ∫Sf ≤ ∫S1f + ∫S2f .
8ª Aula prática
20 abril 2015, 15:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 8c.