Sumários
12ª Aula prática
18 maio 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 9 e 10. Mini-teste.
46ª Aula - Vectores e espaços normais a variedades diferenciais. Método dos multiplicadores de Lagrange para extremos condicionados. Volume de subconjunto de vizinhança de coordenadas de variedade diferencial e integral de campo escalar sobre um tal conjunto.
18 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Definição: Vector normal e espaço normal, designado (TaM)⊥ a variedade-m M em ℝn num ponto a∈M .
Proposição: Se M é variedade-m em ℝn e a∈M , então (TaM)⊥ é subespaço linear de ℝn. Se g é parametrização de vizinhança de coordenadas de M que contém a , então (TaM)⊥=(R(g´(t0))⊥, em que g(t0) = a . Se F é função tal que F(x)=0 é equação cartesiana local de M e F está definida em a , então (TaM)⊥=N(DF(a))⊥ e tem base (∇F1(a), ... ,∇Fn-m(a)) .
Proposição: Método dos multiplicadores de Lagrange: Se f é um campo escalar C1 em S⊂M , com M uma variedade-m em ℝn com m<n , para que f|M tenha extremo relativo em a∈M , se F é função tal que F(x)=0 é equação cartesiana local de M e F está definida em a , é necessário que existam λ1...λn-m∈ℝ tais que ∇f = λ1∇F1+ ⋯ + λn-m∇Fn-m . Aos números λ1, ..., λn-m chama-se multiplicadores de Lagrange.
Exemplo: Cálculo de extremos condicionados num caso concreto.
Definição: Chama-se volume (m-dimensional) de subconjunto S de vizinhança de coordenadas de variedade-m M em ℝn parametrizada por g a ∫g-1(S)Vm(D1g, ..., Dmg) se o integral existe e é finito, e diz-se então que S é mensurável, em que Vm(D1g, ..., Dmg) designa o volume (m-dimensional) do paralelepípedo-m em TaM com arestas D1g, ..., Dmg .
Definição: Chama-se integral de campo escalar f definido em subconjunto S de vizunhança de coordenadas de variedade-m M em ℝn parametrizada por g a ∫g-1(S) (f∘g) Vm(D1g, ..., Dmg) se o integral existe e é finito, caso em que se diz que f é integrável em S .
Observações:
(1) Estas definições são generalizações naturais das definições de comprimento de caminho regular simples e de integral de campo escalar sobre caminho regular simples. Devido à regra de derivação da função composta e ao teorema de mudança de variáveis de integração estas definições dão os mesmo resultado para qualquer parametrização.
(2) Se A é matriz mxn com linhas que são as componentes dos vectores D1g(t), ..., Dmg(t) na base canónica de ℝn e B é a matriz mxm com linhas que são as componentes dos mesmos vectores numa base ortonormal de TaM , sabe-se de Álgebra Linear que Vm(D1g(t), ..., Dmg(t)) = | det B | . Se Q é a matriz de mudança da base canónica de ℝn para uma base ortonormal de ℝn em que os 1ºs m vectores são os da base de TaM usada para definir a matriz B , a matriz cujas linhas são as componentes dos vectores D1g(t), ..., Dmg(t) na 2ª base de ℝn considerada é a matriz mxn por blocos [B 0] (obtida acrescentando n-m colunas nulas) e [Bt 0]t=Q-1At. Como as colunas de Q são ortonormais, é Q-1=Qt , BBt = [B 0] [Bt 0]t= (AQ)(Q-1At)=AAt , e |det B| = (det BBt)1/2=(det AAt)1/2. A matriz AAt=[Dig(t)·Djg(t)]i,j é a matriz de Gram dos vectores D1g(t), ..., Dmg(t) . Logo, Vm(D1g(t), ..., Dmg(t)) = (det [Dig(t)·Djg(t)]i,j)1/2.
12ª Aula prática
18 maio 2015, 10:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 9 e 10. Mini-teste.
11ª Aula prática
15 maio 2015, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; Ficha 11. Mini-teste.
45ª Aula - Continuação de exemplos de variedades diferenciais. Variedades diferenciais compactas. Mudança de coordenadas locais em variedades diferenciais. Vectores tangentes e espaços tangentes a variedades diferenciais.
15 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Exemplos: Determinação se subconjuntos concretos de ℝn são ou não variedades diferenciais e, em caso afirmativo, da respectiva dimensão, a partir das caracterizações locais por parametrização, equação cartesiana ou gráfico.
Definição: Chama-se variedade diferencial compacta em ℝn a uma variedade diferencial em ℝn que é um subconjunto compacto de ℝn.
Proposição: As variedades diferenciais compactas em em ℝn não admitem sistemas de coordenadas ou parametrizações globais.
Proposição: Mudança de sistemas de coordenadas locais em variedades diferenciais:
Se M∩U1 e M∩U2 são vizinhanças de coordenadas para uma variedade-m M⊂ℝn Ck, com k∈ℕ ou ∞ , parametrizadas por g1:V1→M∩U1 e g2:V2→M∩U2 , U=U1∩U2 e M∩U≠∅ , então existe um difeomorfismo (i.e. uma bijecção diferenciável com inversa diferenciável) φ Ck do aberto g2-1(M∩U)⊂ℝm sobre o aberto g1-1(M∩U)⊂ℝm tal que g2=g1∘φ .
Definição: A uma função φ como no resultado precedente chama-se mudança de coordenadas locais da vizinhança de coordenadas M∩U da variedade diferencial M .
Definição: Chama-se vector tangente a uma variedade-m M em ℝn num ponto a∈M a v∈ℝn tal que v=g´(0) para algum caminho g: ]-δ,δ [ → M com g(0)=a .
Chama-se espaço tangente de M em a , designado TaM , ao conjunto de todos os vectores tangentes a M em a .
Proposição: As caracterizações locais de variedades-m M em ℝn por (1) parametrização, (2) equação cartesiana, (3) gráfico dão caracterizações correspondentes de TaM :
(1) TaM = R(g´(t0)) = L(D1g(t0), ... , Dmg(t0)) , em que g é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de M que contém a .
(2) TaM = N(F´(a)) , em que F(x)=0 , x∈ℝn, é uma equação cartesiana local de M com F C1 e definida em a .
(3) TaM = gráfico de f´(ai1, ..., aim) , em que localmente numa vizinhança de a M é gráfico de f:V→ℝn-m C1 , (xim+1, ..., xin) = f(xi1, ..., xim) e (i1, ..., im) é uma permutação de (1, ..., n) .