Proposição: Para um ponto de estacionaridade a de um campo escalar em ℝ² C² numa vizinhança de a ser ponto de (1) mínimo, (2) máximo, (3) sela é suficiente que, respectivamente, (1) det H_f(a)>0, tra H_f(a)>0, (2) det H^f(a)>0, tra H_f(a)<0, (3) det H_f(a)<0, em que H_f(a) é a matriz hessiana de f em a ; se det Hf(a)=0, o teste é inconclusivo.

Definição: Matriz hessiana de campo escalar.

Proposição: Para que um ponto de estacionaridade a de um campo escalar C² numa bola aberta centrada em a ser ponto de mínimo relativo, máximo relativo, sela é suficiente que a matriz hessiana seja, respectivamente, definida positiva, definida negativa, indefinida.

Observação: Com as mesmas hipóteses se a matriz hessiana é semidefinida positiva ou negativa o teste de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade é inconclusivo; para tentar classificar é preciso estudar com mais detalhe a função na vizinhança do ponto.
Revisão de Álgebra Linear: Condições para classificar formas quadráticas em (semi)definidas positivas ou negativas, ou indefinidas com base em valores próprios, determinantes de submatrizes ou pivots de eliminação de Gauss.

Exemplo: Determinação de pontos de extremo ou sela num caso concreto de campo escalar em ℝ² correspondente à energia de um sistema mecânico conservativo com dois pontos de equilíbrio, um onde a energia tem um mínimo relativo (estável) e outro onde a energia tem uma sela (instável).

Demonstração do Teorema de Weierstrass de existência de máximo e mínimo de compos escalares contínuos em subconjuntos limitados fechados de ℝⁿ.

Exemplos: (1) Aplicação do Teorema de Weierstrass a determinação de extremos de campos escalares; (2) Determinação de extremos em pontos da fronteira do domínio de campos escalares; (3) Máximos, mínimos e pontos de sela não isolados.

Motivação para testes de identificação de extremos de campos escalares com derivadas de 2ª ordem: revisão do caso de funções reais de variável real e da correspondente fórmula de Taylor de ordem k com resto de Lagrange, e indicação de como obter a fórmula de Taylor de ordem k para funções de uma variável real.