Sumários

AT16

14 outubro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken

Revisão do método para pesquisar e classificar extremos, ilustrado com um exemplo de uma função de 3 variáveis.
A fórmula de Taylor. Revisão da fórmula para funções de uma variável. Resto de Lagrange. Exemplos e teorema de Lagrange. A fórmula de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis. O uso da fórmula para mostrar o teorema de classificação de extremos (ponto de máximo/mínimo/sela) num dos casos. Formulação do teorema de classificação para funções de n variáveis.

AP4

14 outubro 2016, 13:00 • Roger Francis Picken

Exercícios da ficha 4 sobre o teorema da função composta.

AT15

13 outubro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken

 Revisão breve dos objetivos (pesquisa de extremos) e o caso particular das funções quadráticas de duas variáveis. Observação: quando a matriz  associada à função quadrática tem determinante positivo, o sinal do seu traço é igual ao sinal da 1ª entrada da matriz. Generalização da classificação (ponto de mínimo/máximo/sela) para funções quadráticas de 3 variáveis. Definição de ponto de sela.

Descrição do método (com base na fórmula de Taylor - AT seguinte) para pesquisar e classificar extremos de funçoes de duas variáveis de classe C^2. Primeiro obtém-se os pontos críticos onde ambas as derivadas parciais se anulam. Depois a matriz Hessiana das 2ªs derivadas no ponto crítico determina a classificação, como no caso das funções quadráticas. Exemplo de uma função não-quadrática com dois pontos críticos.

3ª Aula

12 outubro 2016, 13:30 • Pedro Ferreira dos Santos

Resolução de exercícios das 4ª  e  5ª Fichas: derivadas parciais; derivadas segundo um vector; diferenciabilidade

Teorema da derivação da função composta; regra da cadeia.

AT14

11 outubro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken

Revisão das derivadas parciais de ordem superior à 1ª, notação. Propriedade: quando a função é de classe C^2 num domínio verifica-se a igualdade das 2ªs derivadas cruzadas. Exemplo do cálculo de uma 2ª derivada parcial de uma função composta.

Aplicação principal das derivadas de ordem superior:a pesquis de extremos para funções de n variáveis com valores em R. Introdução com terminologia e conceitos básicos dos extremos (local/absoluto, estrito/não-estrito). 
Discussão da teoria das funções quadráticas (formas quadráticas) em R^n, focando no caso n=2. A matriz simétrica associada à função. Os casos quando a matriz é diagonal, e a origem é ponto de mínimo, máximo ou sela da função. Diagonalização da função através de uma mudança de coordenadas, com um exemplo de duas diagonalizações diferentes da mesma função. Lei da inércia de Sylvester. Distinção entre três casos usando o determinante e o traço da matriz associada à função para obter os sinais dos seus valores próprios.