Sumários
AT49 (última aula)
16 dezembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Definição de domínios elementares e domínios regulares no plano. Esboço das linhas principais da demonstração do teorema de Green.
Revisões:
Teorema de Green: pergunta 3 do teste de 6/1/14
Integrais de campos escalares em variedades: pergunta 10a) do teste de 27/1/14
Variedades, espaço normal/tangente, multiplicadores de Lagrange: pergunta 1 do teste de 9/6/14
AP13
16 dezembro 2016, 13:00 • Roger Francis Picken
Exercícios das fichas 12 e 13, e exercícios de testes, sobre o teorema da divergência e o teorema de Stokes.
AT48
15 dezembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão dos pontos principais da aula anterior, referindo que às vezes é necessário calcular um potencial vetorial antes de aplicar o teorema, e discutindo o teorema de Stokes "ao contrário" no caso especial em que o campo vetorial é fechado. Isto permite concluir que o trabalho de um campo fechado é igual ao longo de duas linhas que são homotópicas entre si, tal como foi o caso para linhas no plano e o teorema de Green. Discussão do exercício 6b) da ficha 13, onde se pode aplicar essas ideias.
Sabe-se que um campo vetorial fechado num domínio "sem buracos" é gradiente nesse domínio. Uma caracterização de "sem buracos", mais geral do que um domínio em estrela é a noção de um domínio simplesmente conexo, que envolve linhas homotópicas.
Discussão da necessidade da superfície ser orientável para permitir a definição do fluxo, com o exemplo da fite de Möbius (não orientável).
Exemplo do uso do teorema de Stokes numa pergunta de teste (4c) do teste de 6/1/2014 v2)
12ª Aula
14 dezembro 2016, 13:30 • Pedro Ferreira dos Santos
Continuação da resolução de problemas da Ficha 12.
AT47
13 dezembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão do teorema de Stokes, e do seu uso na aula anterior quando o campo f é dado como rotacional de um potencial vetorial A, explicitamente dado. Considerações quando se pretende aplicar o mesmo procedimento, mas A não é dado. Uma condição necessária é div f = 0, suficiente também quando por exemplo o domínio de f é em estrela. Exemplo do cálculo de um potencial vetorial, relacionado com o exemplo 13.4.2 do livro de G. Pires, mas escolhendo uma componente diferente de A igual a 0, na resolução do sistema correspondente à equação vetorial f = rot A. Observação que os dois potenciais encontrados diferem por um campo fechado, aliás gradiente neste caso, o que significa que são ambos potenciais vetoriais do mesmo campo f.
Discussão do teorema de Stokes "ao contrário", ou seja com o objetivo de obter um ou mais trabalhos à custa do cálculo de um fluxo. Observação que o teorema de Stokes para f corresponde ao teorema de Green para A, quando a superfície S está contida no plano Oxy. Comentários sobre os exercícios 2 e 3 da ficha 13 de exercícios, onde se usa o teorema de Stokes "ao contrário". Observação sobre o caso em que o campo f, cujo trabalho se pretende obter, é um campo fechado, ou seja rot f = (0,0,0). Neste caso o teorema de Stokes permite substituir o cálculo do trabalho ao longo de um caminho, pelo trabalho ao longo de outro caminho mais conveniente, desde que existe uma superfície, contida no domínio de f, ligando as duas linhas. Esta última discussão é relevante para o exercício 6 da ficha 13.