Sumários
AT44
6 dezembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Resolução do TPC: cálculo da área delimitada por uma elipse pelo teorema de Green.
Integrais de fluxo para um campo vetorial f através de uma superfície S em R^3 no sentido da normal unitária n. Discussão da sua interpretação. Dois métodos para o seu cálculo direto: 1) quando a integranda f.n é uma função simples (por exemplo uma constante) e S tem a sua área dada por uma fórmula geométrica; 2) mediante uma parametrização g de S. O segundo método envolve o cálculo do produto externo das duas colunas de Dg, o que resulta num vetor normal à superfície no caso de S ser uma variedade. Exemplo do cálculo direto de um fluxo pelo método 2.
O teorema da divergência para uma região 3D, V, com fronteira (exterior) S. Cálculo do fluxo anterior usando este teorema, o que envolve a introdução de uma tampa e o cálculo de um integral triplo.
AT43
5 dezembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão dos campos gradientes (= conservativos), que têm trabalho nulo ao longo de caminhos fechados. Um campo gradiente é automaticamente um campo fechado, mas o campo "ralo da banheira" mostra que um campo fechado não é necessariamente gradiente (só quando o domínio "não tem buracos", por exemplo quando o domínio é um domínio em estrela). Discussão do exercício 3 da ficha 11, neste contexto: como se pode concluir que um campo é gradiente antes de calcular o potencial.
Teorema de Green: versão 1 com um caminho C constituindo a fronteira de uma região S planar. Versão 2, com ainda um ou mais caminhos constituindo fronteiras interiores de S. Observações sobre o caso especial do teorema de Green, quando o campo em jogo é fechado. Exemplo do uso do teorema de Green para o cálculo de um trabalho so longo de um triângulo à custa do cálculo de um integral duplo. Exemplo do uso do teorema de Green, lido no sentido inverso, para obter uma expressão para a área de um polígono em termos das coordenadas dos vértices. TPC: calcular a área delimitada por uma elipse através da mesma abordagem.
AT42
2 dezembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão dos campos gradientes (= conservativos) e a sua propriedade que têm trabalho nulo ao longo de caminhos fechados. Quando um campo de classe C^1 é gradiente, isto implica que o campo é fechado.
O exemplo do campo "ralo da banheira", fechado mas não gradiente no seu domínio natural (R^2 menos a origem). O trabalho deste campo ao longo de uma circunferência centrada na origem, percorrida no sentido anti-horário, é não-nulo ( 2 pi). Num domínio menor onde esses caminhos não existem, por exemplo tirando um semi-eixo, o mesmo campo já é
conservativo, com potencial escalar teta(x,y). Definição de conjuntos em estrela, incluindo o exemplo dos conjuntos convexos. Enunciado do teorema: um campo fechado num domínio em estrela é gradiente nesse domínio.
AP11
2 dezembro 2016, 13:00 • Roger Francis Picken
Exercícios da ficha 10 (integrais em variedades de funções escalares) e ficha 11 (integrais de trabalho, campos gradientes).