Sumários
AT36
21 novembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão da definição de variedades, dadas por equações e desigualdades para as coordenadas em R^n. Exemplo de uma variedade em R^2, e de um conjunto muito semelhante que não é variedade. Outro exemplo de uma variedade de dimensão 1 em R^3, onde uma desigualdade permite concluir logo que a característica da matriz DF é 2 para todos os pontos do conjunto. Observação sobre gráficos: localmente uma variedade é o gráfico de uma função (a função implícita do teorema da função implícita).
Parametrizações de variedades. Discussão da equação cartesiana e da equação paramétrica de uma reta em R^2. Definição de uma parametrização (local) g de uma variedade M. Exemplo de duas parametrizações de uma circunferência em R^2. A primeira, obtida através do teorema da função implícita, tem como imagem só metade da circunferência. A segunda tem como imagem toda a circunferência menos um ponto.
Definição do espaço tangente e do espaço normal a uma variedade num ponto, ilustrada pela circunferência anterior. Uma base do espaço normal é dada pelas linhas de DF no ponto, uma base do espaço normal é dada pelas colunas de Dg(b), onde g(b) é o ponto na variedade.
AT35
18 novembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão do teorema da função implícita para F de n variáveis com valores em R^k, focando nas versões possíveis nos casos: i) n=2, k=1; ii) n=3, k=1; iii) n=3, k=2.
Variedades. A noção intuitiva. Definição de variedade, inspirada no teorema da função implícita: M é conjunto de nível da função F de classe C^1, tal que car DF = k para todos os pontos de M. A dimensão de M é n-car DF. Exemplos correspondentes aos 3 casos i), ii), iii) acima, com ênfase no facto de que a condição sobre a característica permite aplicar pelo menos uma das versões do teorema da função implícita em cada ponto de M.
AP9
18 novembro 2016, 13:00 • Roger Francis Picken
Exercícios da ficha 8 sobre o teorema da função inversa e o teorema da função implícita.
AT34
17 novembro 2016, 14:30 • Roger Francis Picken
Revisão do teorema da função implícita, através da resolução de uma equação linear, ou um sistema de duas equações lineares, e o mesmo resultado usando o teorema. Enunciado do teorema da função implícita na sua versão mais geral, com um sistema de k equações a n variáveis. Exemplo com k=2 e n=3, ilustrando também escolhas diferentes de variáveis dependentes e independentes para a função implícita, e a abordagem usando derivação implícita (com a observação que essa abordagem é a indicada para exercício 4 da ficha 8).