Polinómio de Taylor v.v. e formas quadráticas

25 outubro 2013, 14:00 • Ana Moura Santos

Polinómio de Taylor v.v. de grau k para uma função de classe \(C^k\) num ponto, escrito em função de \(\vec{\bf{h}}\) ou de \(\bf{x}\). Exemplificação para 2 variáveis e grau 2.

Exemplo do polinómio de Taylor da função \(e^{x^2+y}\) de grau \(k=2\) na origem. Cálculo com a fórmula dos multi-expoentes e com a regra da composta.

Definição de formas quadráticas e representação como soma/diferença de quadrados de funções lineares linearmente independentes. Assinatura duma forma quadrárica. Técnica de completação de quadrados (ou enquadramento).

6ª aula de problemas

24 outubro 2013, 17:30 • Ana Moura Santos

Exercícios das secções 2.10  e 3.1 (até 3.1.7).

Espaços tangentes e polinómio de Taylor v.v.

24 outubro 2013, 13:30 • Ana Moura Santos

Comparação da equação para o plano tangente ao gráfico da função implícita e para o plano tangente a uma variedade dada pela equação \(\bf{F}(x)=\bf{0}\): exemplo \(z=x^3-2xy^2\) revisitado. Equações para espaços/planos tangentes a variedades dadas tanto por equações, como por parametrizações.

Propriedade das derivadas mistas de funções de classe \(C^k\). Polinómio de Taylor a v.v. para grau menor ou igual a k  num ponto dum aberto do domínio para uma função de classe \(C^k\). Multi-índices: maneira compacta de registar as derivadas, que entram nos coeficientes do polinómio.

Semana 6

23 outubro 2013, 17:00 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

Parametrizações e planos tangentes

23 outubro 2013, 14:00 • Ana Moura Santos

Verificação das três propriedades duma parametrização no caso de duas superfícies: o gráfico da função \(f(x,y)=x^3-2xy^2\)  e de \(1/4\) da superfície esférica \(x^2+y^2+z^2=1, y,z>0\).

Definição de espaço tangente a uma variedade num ponto como o gráfico da derivada nesse ponto. Espaços tangentes são espaços vetoriais, i.e. o zero está sempre no espaço tangente, mas habitualmente representa-se o "plano" (pode ser uma recta, no caso 2D) tangente. Equação para o plano tangente ao gráfico da função implícita. Exemplo de plano tangente ao gráfico duma função de duas variáveis.