Semana 6

22 outubro 2013, 16:00 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

Semana 6

22 outubro 2013, 14:30 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

6ª aula de problemas

21 outubro 2013, 17:30 • Ana Moura Santos

Exercícios das secções 2.10  e 3.1 (até 3.1.7).

Parametrização de variedades

21 outubro 2013, 14:00 • Ana Moura Santos

Observações: o teorema da função implícita só serve para garantir a existência duma variedade. quando falha, não diz nada sobre se temos ou não variedade; as variedades são independentes dos sistemas de coordenadas.

Interseção de superfícies regulares. Exemplo: parabolóide intersetado com um plano. Curvas e superfícies para metrizadas. Exemplos: \((\cos t, \sin t, 2t)\) com \(t \in ]0, 10[\), curva em forma de hélice em \(R^3\) e \((\cos u \cos v, \sin u \cos v, \sin v)\) com \(u \in ]0,2 \pi[\) e \(v \in ]-\pi/2, \pi/2[\), superfície esférica de raio um, centrada na origem.

Definição estrita de parametrização de variedades com as propriedades: 1) definida num aberto; 2) de classe \(C^1\), injetiva e sobrejetiva; 3) derivada injetiva.

Critério da função implícita para identificar variedades (cont.)

18 outubro 2013, 14:00 • Ana Moura Santos

Definição de variedade k-dimensional regular (recorde-se): é localmente o gráfico duma função de classe \(C^1\). Exemplos de variedades como gráficos de funções de duas variáveis: gráficos de funções .  

Critério para identificação duma variedade \(M\) mergulhada em \(R^n\): existência duma função \({\bf F}\) de classe \(C^1\) t.q. \({\bf F ({\bf z})}={\bf 0}\), com derivada \([{\bf D(F ({\bf z})}]\) sobrejectiva numa vizinhança aberta de \({\bf z}\) em \(M \bigcap U\), com \(U\) aberto de \(R^n\).

Exemplo 1: verificação da existência duma curva regular numa vizinhança da origem para o conjunto de pontos de \(R^2\) que satisfazem a equação \(xy+\cos(x+y)+\sin(x+y)=1\).

Exemplo 2: verificação da existência duma superfície regular para o conjunto de pontos de \(R^3\) que satisfazem a equação \(\cos(xy+z)=0\).

Exemplo 3: verificação dos conjuntos de nível \(x^4+y^4+x^2-x^2=c\), que são curvas regulares em \(R^2\). O critério não garante a existência duma variedade de dimensão 1 para os níveis \(c=0, -1/4\).

Definição de curvas/superfícies de nível: curvas de contorno em \(R^2\) (ContourPlot) e superfícies de nível em \(R^3\) (ContourPlot3D).