Semana 5

17 outubro 2013, 17:30 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

Critério da função implícita para identificar variedades

17 outubro 2013, 13:30 • Ana Moura Santos

Resumo do teorema da função implícita e aplicação ao cálculo da vizinhança em torno de \(y=b\) para o qual \(F(x,y)=x^2+y^2-1=0\) define implicitamente uma função \(x=g(y)\).

Definição de gráficos de funções de v.v. com valores em \(R^m\). Exemplos analíticos, computacionais (Plot3D) e tridimensionais.

Definição de variedade regular de dimensão \(k\) mergulhada em \(R^n\), p.ex. \(n=2, 3\): \(k=1\) corresponde a uma curva, \(k=2\) corresponde a uma superfície.

Semana 5

16 outubro 2013, 17:00 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

Teorema da função implícita

16 outubro 2013, 14:00 • Ana Moura Santos

Teorema da função implícita (versão longa). Questão: quando (onde) é que a equação não-linear homogénea \({\bf F}({\bf c})={\bf 0}\), em que \({\bf F:W \subset R^{n+m} \rightarrow R^n}\) é diferenciável com derivada de Lipschitz, e tal que a derivada é sobrejetiva (o Nº de pivots=Nº de equações=Nº de variáveis passivas), define implicitamente, numa vizinhança do ponto \({\bf c}=({\bf a},{\bf b})\), uma função \({\bf g}\) de classe \(C^1\) que exprime as \(n\) variáveis passivas como função das \(m\) variáveis livres? Para os pontos da vizinhança de \({\bf b}\), em que \({\bf x}={\bf g}({\bf y})\), temos  ainda   \([D({\bf g}({\bf b}))]= -[D_1{\bf F}({\bf {c}}),...,D_n{\bf F}({\bf {c}})]^{-1}[D_{n+1}{\bf F}({\bf {c}}),...,D_{n+m}{\bf F}(\bf {c})]\).

Semana 5

15 outubro 2013, 16:00 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.