AP2

23 setembro 2011, 14:00 • Roger Francis Picken

Exercícios 4 e 5 da ficha 1, sobre limites e continuidade de funções em R^n. Exercício teste na parte final da aula.

AT8

23 setembro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken

Revisão breve dos conceitos da aula anterior: derivadas parciais, matriz derivada e gradiente, derivadas segundo um vetor v e derivadas direcionais. Propriedade da derivada segundo um vetor: multiplicando o vetor por c, a derivada também é multiplicada por c. Definição de uma função de duas variáveis com valores em R ser diferenciável num ponto do interior do seu domínio (por analogia com uma versão adaptada da  mesma definição para uma função de uma variável). Propriedades de uma função diferenciável num ponto: 1) todas as derivadas segundo v existem e são dadas pelo produto interno entre o gradiente de f nesse ponto e v; 2) a função é contínua nessa ponto. A propriedade 1) implica que a direção de maior crescimento de f no ponto é a direção do gradiente.

AT7

22 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken

Início do cálculo diferencial em R^n. Derivadas parciais num ponto, definição, exemplos, derivadas parciais como funções. A matriz derivada (= matriz Jacobiana), e o caso particular do gradiente (matriz derivada com só uma linha). Interpretação geométrica das derivadas parciais no caso de uma função de duas variáveis com valores em R, envolvendo o gráfico da função e as linhas de nível. Definição da derivada segundo um vetor v, com interpretação geométrica para uma função de duas variáveis com valores em R, e o caso particular da derivada direcional (quando v tem comprimento 1). Observação que a direção de maior crescimento de f é a direção do gradiente (para funções diferenciáveis - aula seguinte).

AT6

20 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken

Exemplo demonstrando que um limite não existe, porque um limite relativo a um subconjunto não existe. Propriedades de limites para as operações algébricas de adição, multiplicação e divisão de duas funções definidas no mesmo domínio com valores reais, e composição com uma função real de uma variável. Deduz-se a continuidade da soma, do produto, do cociente e da composição de funções contínuas, o que permite justificar a continuidade de todas as funções com valores reais obtidas a partir de funções contínuas conhecidas, através destas operações algébricas. A existência do limite num ponto, ou a continuidade num domínio, de uma função com valores em R^m equivale a existência do limite nesse ponto, ou a continuidade nesse domínio, das m funções coordenadas com valores em R.

"Aplicações" das funções contínuas: 1) f contínua num domínio D compacto tem imagem f(D) em R^m compacta, com caso particular (m=1, o teorema de Weierstrass), f tem valor máximo e mínimo no seu domínio; 2) f contínua num domínio D conexo tem imagem f(D) em R^m conexa, com caso particular (m=1) o teorema do valor intermédio; 3) condições abertas e fechadas, usando uma função contínua para definir conjuntos em R^n.

2ª Aula de Problemas

20 setembro 2011, 08:30 • Pedro Ferreira dos Santos