AT11

29 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken

Exemplo de uma função diferenciável: uma transformação linear. Neste caso a matriz que define a transformação linear é igual à matriz derivada. Regra da cadeia para funções reais de uma variável: exemplos e observações. Generalização para R^n do teorema da função composta, com formulação num ponto e num domínio. Exemplo simples onde se pode explicitar a função composta e verificar o resultado. Discussão intuitiva do exemplo em termos de uma árvore de dependências entre variáveis, taxas de variação e uma fórmula para a derivada da função composta.

AT10

27 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken

Observação sobre a definição de uma função de n variáveis com valores em R^m ser diferenciável num ponto a do interior do seu domínio: as linhas da matriz derivada/Jacobiana Df(a) são os gradientes das funções coordenadas. Propriedades: 1) fórmula para a derivada de f segundo um vetor v (=produto matricial entre Df(a) e v), 2) f é contínua no ponto a. Interpretação geométrica da definição de uma função f de duas variáveis com valores em R ser diferenciável no ponto (a,b): a função f admite, para argumemtos próximos de (a,b), uma aproximação boa por uma outra função, cujo gráfico é o plano tangente ao gráfico da função f. Discussão breve das equações Cartesianas de planos em R^3.
Novo exemplo da (não) diferenciabilidade num ponto: uma função com todas as derivadas segundo um vetor no ponto iguais a 0, mas descontínua no ponto, portanto não diferenciável no ponto. Uma segunda via para justificar diferenciabilidade num domínio: se f é de classe C^1 num domínio (aberto), f é diferenciável nesse domínio.

3ª Aula de Problemas

27 setembro 2011, 08:30 • Pedro Ferreira dos Santos

AT9

26 setembro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken

Exemplo mostrando a vantagem da fórmula, válida para funções diferenciáveis, para a derivada segundo um vetor v (dada pelo produto interno entre o gradiente da função e v). Exemplos de funções não diferenciáveis e diferenciáveis num ponto. Definição de uma função de n variáveis com valores em R^m ser diferenciável num ponto a do interior do seu domínio, e a notação Df(a) para a matriz derivada. Diferenciabilidade num domínio. A equivalência entre a diferenciabilidade de f com valores em R^m e a diferenciabilidade das suas m funções coordenadas. A diferenciabilidade de funções obtidas a partir de funções diferenciáveis conhecidas, através da adição, multiplicação, divisão e composição com funções de uma variável e valores em R.

AP2

23 setembro 2011, 15:30 • Roger Francis Picken

Exercícios 4 e 5 da ficha 1, sobre limites e continuidade de funções em R^n. Exercício teste na parte final da aula.