Sumários
AT5
19 setembro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken
Resolução de um exercício sobre o critério da majoração. Adaptação do critério para o limite num ponto diferente da origem de R^n. Definição do limite de uma função num ponto, relativo a um subconjunto. Quando um limite relativo não existe, ou quando dois limites relativos a dois subconjuntos diferentes têm valores diferentes, conclui-se que o limite de f no ponto não existe. Vários métodos para implementar esta abordagem: limites relativos a conjuntos da forma y=mx, limites sucessivos, limites direcionais (relativos a semirretas). Exemplo onde é necessário usar o gráfico de uma função cúbica como um dos subconjuntos, porque retas e gráficos de funções quadráticas não levam a nenhuma conclusão.
AP1
16 setembro 2011, 15:30 • Roger Francis Picken
Exercícios 1, 2 e 3 da ficha 1, sobre esboços de conjuntos em R^2 e R^3, cortes de sólidos em R^3, e propriedades topológicas de conjuntos.
AP1
16 setembro 2011, 14:00 • Roger Francis Picken
Exercícios 1, 2 e 3 da ficha 1, sobre esboços de conjuntos em R^2 e R^3, cortes de sólidos em R^3, e propriedades topológicas de conjuntos.
AT4
16 setembro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken
Revisão dos conceitos de limite e continuidade. Ilustração da definição da existência do limite de f num ponto, usando o gráfico de uma função de duas variáveis com valores em R. Exemplo de uma função contínua num ponto, f(x,y) = x no ponto (0,0), usando a definição. Observação que a mesma função é contínua em todos os pontos de R^2. Formulação de um critério eficaz para provar a existência do limite de f: o critério da majoração. Exemplo do uso do critério e exercício.
AT3
15 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken
Resolução de um exercício sobre propriedades topológicas de dois conjuntos. Discussão breve do uso de sucessões em R^n para analisar propriedades topológicas: a caraterização de conjuntos fechados usando sucessões convergentes e a caraterização de conjuntos compactos usando sucessões (teorema de Bolzano-Weierstrass).
Limites e continuidade para funções de n variáveis com valores em R^m. Noções iniciais: o domínio natural (= maximal) de uma função; as m funções coordenadas. Conceitos de limites e continuidade usando como exemplo uma função com m=n=1. A questão fundamental da existẽncia, ou não existẽncia, do limite de f quando x tende para a, com x diferente de a; continuidade de f quando a pertence ao domínio, e prolongação por continuidade de f ao ponto a, quando a não pertence ao domínio. Definição da existência do limite de f no ponto a com valor igual a b, para o caso de m=n=1 e para o caso geral (substituindo o módulo pela norma na definição).