Sumários
AP13
9 dezembro 2011, 14:00 • Roger Francis Picken
Exercícios 1, 2 e 16 da ficha 7 sobre o teorema de Green e integrais de trabalho de campos fechados. Início de exercícios da ficha 7 sobre o cálculo de fluxos pela definição e pelo teorema da divergência.
AT46
9 dezembro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken
Discussão do campo radial de quadrado inverso que aparece no teorema de Gauss, cuja divergência é nula. Assim a versão do teorema da divergência com uma fronteira exterior e uma fronteira interior implica o teorema de Gauss. Observação sobre analogias entre o teorema de Green para trabalhos e o teorema da divergência para fluxos. Uma outra analogia existe entre o teorema fundamental para trabalhos de campos gradientes e o teorema de Stokes para fluxos de campos rotacionais. Definição do rotacional de um campo vetorial e a noção de um potencial vetorial A para um campo vetorial F. Teorema de Stokes e a regra da mão direita para a relação entre a normal da superfície S para o fluxo e o(s) sentido(s) da(s) linha(s) de bordo de S. Observação que um caso particular do teorema de Stokes (S contida no plano Oxy) está relacionado com o teorema de Green para A.
AT45
6 dezembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken
Justificação da fórmula para o fluxo de F através da superfície S no sentido da normal unitária n, em termos de uma parametrização g de S (usando a interpretação geométrica do produto externo dos dois vetores tangente na fórmula). O fluxo do exemplo da aula anterior usando uma parametrização com parâmetros ro e teta. Observação sobre a necessidade de S ter dois lados para poder escolher uma normal n consistente em todos os pontos de S, e o exemplo da fita de Moebius com um só lado, onde não é possível fazer uma escolha de n.
O teorema da divergência, um resultado para fluxos análogo ao teorema de Green para trabalhos. Enunciado informal e cálculo do fluxo do exemplo anterior usando o teorema, depois da introduçao de uma superfície suplementar ("uma tampa"). Versão do teorema da divergência com uma fronteira exterior e uma ou mais fronteiras interiores do sólido envolvido. Descrição breve do teorema de Gauss (a ser continuada na aula seguinte).
12ª Aula de Problemas
6 dezembro 2011, 08:30 • Pedro Ferreira dos Santos
Resolução de problemas sobre integrais de linha de campos vectoriais, campos gradientes e potenciais.
AT44
5 dezembro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken
Novo exemplo do teorema de Green, para calcular o trabalho de um campo ao longo de uma linha na forma de um triângulo. A versão do teorema de Green para um domínio não simplesmente conexo e um exemplo envolvendo o campo "ralo da banheira".
Introdução da noção do integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S em R^3, com normal unitária n. Exemplo com a integranda F.n constante. Fórmula para o fluxo a partir de uma parametrização g de S, com um exemplo do seu cálculo.