Sumários
AT26
27 outubro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken
Observações sobre o cálculo de uma base do espaço tangente no exemplo da aula anterior: não é necessário parametrizar explicitamente porque o teorema da função implícita fornece duas componentes da derivada da parametrização Dg. A variedade é localmente um gráfico com um eixo de variáveis independentes e dois eixos de variáveis dependentes.
Extremos condicionados: introdução recordando a pesquisa de extremos usando derivadas de ordem 1 e 2, e o teorema de Weierstrass. Exemplo simples introduzindo o método dos multiplicadores de Lagrange.
AT25
25 outubro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken
Variedades usando a perspetiva das parametrizações. Definição de uma parametrização de (parte de) uma variedade. Exemplos de parametrizações de uma variedade de dimensão 1 em R^2. Cálculo de uma base do espaço tangente à variedade num ponto. Exemplo do cálculo de uma base do espaço tangente e do espaço normal à variedade num ponto para uma variedade M de dimensão 1 em R^3, pela via das equações que determinam M, e pela via de uma parametrização local de M. Exemplo de uma parametrização de uma superfície M em R^3, e o cálculo de uma base do espaço tangente a M num ponto, usando a parametrização.
7ª Aula de Problemas
25 outubro 2011, 08:30 • Pedro Ferreira dos Santos
Resolução de problemas sobre variedades diferenciáveis em R^n (cálculo de espaços tangente e normal) e extremos condicionados.
AT24
24 outubro 2011, 12:00 • Roger Francis Picken
Variedades M dadas como conjuntos de nível em R^n de funções F com valores em R^k, com um exemplo com n=3 e k=2, e um exercício com n=4 e k=2. A condição para M ser variedade: a característica da matriz DF é igual a k, e a dimensão da variedade (= n - car DF). Definição do espaço tangente e do espaço normal à variedade M no ponto a. Uma base do espaço normal é dada pelas linhas de DF no ponto a. Exemplo ilustrando a distinção entre espaço normal/tangente e reta/plano normal/tangente. Observação breve (continuação na aula seguinte) sobre a abordagem das variedades usando parametrizações g: uma base do espaço tangente é dada pelas colunas da matriz Dg.