10ª Aula prática

19 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre produtos internos.

28ª Aula - Complementos ortogonais de subconjuntos de espaços euclidianos, projecções ortogonais em subespaços e decomposição ortogonal de espaços euclidianos. Continuação de exemplos de produtos internos e espaços euclidianos: espaços de matrizes complexas mxn, espaços de sucessões de termos reais ou complexos com somas parciais de quadrados dos módulos dos termos majoradas.

19 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Observação de ortogonalização de Gram-Schmidt corresponder a factorização QR de matrizes, analogamente a eliminação de Gauss corresponder a factorização triangular. Referência à utilidade de ambas em cálculo numérico.

Complemento ortogonal S^⊥ de subconjunto S de espaço linear V: definição, exemplos, S^⊥ é espaço linear, se S é espaço linear de dimensão finita então S^⊥⊥=S, se S é espaço linear de dimensão finita V=S⊕S^⊥, logo fica definida uma decomposição ortogonal para vectores em V: x=x_S+x_S^⊥ com x_S em S e x_S^⊥ em S^⊥ únicos.

Decomposição ortogonal: se S é subespaço linear de dimensão finita de espaço euclidiano V, então V=S⊕S ^⊥, projecção ortogonal P sobre S, projecção complementar P^⊥ = 1_V - P , cálculo de P a partir de uma base ortonormal de S , propriedades principais de projecções ortogonais (P(V)=S, P  ²=P, <Px,y>=<x,Py> para x,y∈V, ||x||²=||Px||²+||P^⊥x||² para x∈V (Fórmula de Pitágoras).

Interpretação geométrica da Desigualdade de Bessel: comprimento da projecção ortogonal de vector sobre subespaço linear de dimensão finita ≤ comprimento do vector (análoga à Desigualdade de Cauchy-Schwarz mas agora para projecções ortogonais em subespaços de dimensão finita em vez de sobre vectores).

Em dimensão infinita pode falhar V=S⊕S^⊥: há subespaços lineares de dimensão infinita S de espaços euclidianos (de dimensão infinita) V tais que V≠S⊕S^⊥, ou seja S^⊥⊥≠S. 

Continuação de exemplos de espaços euclidianos: espaço das matrizes complexas mxn com produto interno canónico, espaços das sucessões de termos reais ou complexos com somas parciais de quadrados dos módulos de de termos majoradas com produto interno análogo ao canónico de ℝⁿ  (espaço euclidiano ℓ²).

10ª Aula prática

18 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre produtos internos.

10ª Aula prática

17 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre produtos internos.

27ª Aula - Fórmulas com componentes em bases ortonormais de espaços euclidianos de dimensão finita, Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e consequências. Exemplos.

17 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Conjuntos ortogonais e conjuntos ortonormais em espaços euclidianos: definição, conjuntos ortogonais que não contêm o vector 0 são linearmente independentes.

Fórmulas com produtos internos e bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita para: componentes de um vector, produto interno de vectores (Fórmula de Parseval), norma de um vector (Fórmula de Pitágoras).

Processo de ortogonalização de Gram Schmidt. Consequências: existências de bases ortonormadas em espaços Euclideanos de dimensão finita, Factorização QR de matrizes com colunas linearmente independentes. Referência à utilidade da factorização QR em cálculo numérico; exemplo de resolução de sistemas de equações lineares.

Definição de matriz ortogonal e de matriz unitária. Observação que a inversão de uma destas matrizes é imediata, respectivamente Q^-1=Q^t e Q^-1=Q^*.

Exemplo de produto interno canónico no espaço linear das matrizes mxn com componentes reais, e cálculo de normas de matrizes, ângulos entre matrizes matrizes, e verificação da base canónica ser ortonormal no produto interno canónico.