11ª Aula prática

27 novembro 2015, 08:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade de subespaços.

11ª Aula prática

26 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade de subespaços.

32ª Aula - Produto externo. Paralelepípedo-n em Rn. Determinantes: definição axiomática com base em propriedades de volumes de paralelepípedos-n,  propriedades gerais, fórmula para em termos de permutações, existência e unicidade.

26 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Produto externo em ℝ³: definição, propriedades fundamentais (antisimetria, linearidade em cada parcela com a outra fixa -- bilinearidade, ortogonalidade a cada parcela no produto interno canónico, igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico, que é equivalente à norma ser a área do paralelogramo que tem as parcelas como arestas), descrição geométrica do produto externo, o produto externo de dois vectores é ≠0 se e só se os vectores são linearmente independentes. propriedades do produto externo de vectores linearmente independentes (com os vectores das parcelas forma um conjunto de três vectores linearmente independente, logo uma base de R ³; todo o vector ortogonal a dois vectores é colinear com o produto externo dos vectores). Observação de que é impossível definir um produto externo com as 4 propriedades fundamentais excepto em ℝ³ e ℝ⁷.

Determinante: motivação com a ideia de se pretender que o valor absoluto do determinante de n vectores em ℝⁿ dê o volume-n do paralelepípedo-n com esses vectores como arestas, definição de paralelepípedo-n e ilustração geométrica do sentido de volume-n, definição de determinante como função de (ℝⁿ)ⁿ em ℝ com as propriedades: 
(1) Multilinearidade (linearidade em cada argumento com os outros fixos), 
(2) Anulação (quando dois argumentos são iguais), 
(3) Normalização (=1 quando os argumentos são a base canónica de ℝⁿ).
Propriedades gerais do determinante (=0 se um argumento =0, muda de sinal com troca de um par dos argumentos, determinante de n vectores linearmente dependentes em ℝⁿ ou ℂⁿ é 0). Definição análoga para n vectores em ℂⁿ como função com valores em ℂ .

Definição de determinante de matriz quadrada como sendo o determinante do múltiplo ordenado das linhas da matriz.

Exemplos de cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 directamente a partir da definição. Fórmula para determinantes em termos de permutações. Prova de que existe uma função única que satisfaz as condições da definição de determinante.

31ª Aula - Polinómios trigonométricos de Fourier e aproximações óptimas de funções por polinómios trigonométricos. Matrizes de Gramm. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas e semidefinidas (positivas e negativas), indefinidas. Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas. Determinação se matriz é de um dos tipos considerados por eliminação de Gauss e pivots.

25 novembro 2015, 14:00 • Luis Magalhães

Aproximações óptimas de funções reais contínuas num intervalo limitado e fechado por polinómios trigonométricos de Fourier: polinómio trigonométrico de ordem n, funções 1, sin kt, sin kt, k∈N, são ortogonais duas a duas no espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℝ) com produto interno ∫₀^2πfg  (prova com base na verificação da ortogonalidade das funções  e^ikt, k∈ℤ , no espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℂ)) , polinómio de Fourier de função f, referência a séries de Fouriear e ``a respectiva importância em aplicações e teoria.  

Matrizes de Gramm de múltiplo ordenado de vectores de espaço euclidiano. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas positivas (resp. negativas), semidefinidas positivas (resp. negativas), indefinidas. Prova de que matrizes de Gram são simétricas para espaços euclidianos reais (resp. hermitianas para espaços lineares complexos) e são definidas positivas.

Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita: são da forma <x,y>=Y*GX , com G matriz hermitiana (i.e. G=G*) definida positiva (i.e. Z*GZ>0 para todas matrizes coluna Z≠0 ), em que X,Y são as matrizes coluna com as componentes de, respectivamente, x,y numa base ordenada do espaço; G é a matriz de Gram dos vectores da base.

Uma matriz hermitiana é definida positiva se e só se é regular e a eliminação de Gauss (sem troca de linhas) dá pivots >0 em todas as linhas (e colunas). [Prova com a factorização triangular obtida com eliminação de Gauss e respectiva unicidade]. Resultados análogos para matrizes definidas negativas (pivots <0 em todas as linhas e colunas), semidefinidas positivas (pivots >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), semidefinidas negativas (pivots <0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), e indefinidas (pivots <0 e >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas).

11ª Aula prática

25 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade de subespaços.