11ª Aula prática

24 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade de subespaços.

30ª Aula - Alternativa de Fredholm. Complementos ortogonais de subespaços lineares de dimensão finita e infinita. Exemplos de espaços euclidianos de sucessões e de funções contínuas em intervalos limitados e fechados.

24 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Alternativa de Fredholm para matrizes reais ou complexas e para sistemas de equações lineares: R(A)^⊥=N(A^t), R(A^t)=N(A)^⊥  ou R(A)^⊥=N(A*), R(A*)=N(A)^⊥ conforme matriz mxn A é real ou complexa, e Ax=b tem solução se e só se b é ortogonal às soluções de A^ty=0 ou A^*y=0 conforme A é real ou complexa.

Aplicação a sistemas de equações lineares - Alternativa de Fredholm: 
(1) Em alternativa, ou Ax=b tem solução ou b não é ortogonal às soluções de A^*y=0 .
(2) Em alternativa, ou Ax=b tem solução para todo b∈ℝ^m (i.e. N(A*)={0} ) ou A*y=0 é indeterminado (i.e. N(A*)≠{0} ) . 

Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então V=S⊕S^⊥⇒S^⊥⊥=S . Se dim S ou dim S^⊥ é finita, então V=S⊕S^⊥ e, portanto, S^⊥⊥=S . Se dim S e dim S^⊥ é infinita, então pode ser V≠S⊕S^⊥ e S^⊥⊥≠S .

Revisão: No espaço linear das sucessões de termos reais ℝ^ℕ, S={{u_n}∈ℝ^ℕ: w_m=∑^m_n=1|u_n|² é sucessão majorada} com <{u_n}, {v_n}>=lim_m→∞∑^m_n=1u_nv_n é um espaço euclidiano, que se designa ℓ² (no espaço das sucessões de termos complexos análogo só adicionalmente conjugando os termos de {v_n} nas somas que definem o produto interno).

Em ℓ², o subespaço U das sucessões com um nº finito de termos não nulos é tal que U^⊥={0}, U^⊥⊥=ℓ²≠U , U+U^⊥≠ ℓ².

Nota: Apesar de poder ser S^⊥⊥≠S (só possível se se S e S^⊥ têm dimensão finita), é sempre S^⊥⊥⊥=S^⊥, e correspondente prova.

Espaços euclidianos C⁰([a,b],ℝ) com produto interno <f,g>=∫_[a,b] fg  e C⁰([a,b],ℂ) com produto interno <f,g>=∫_[a,b] fg . Prova de que no espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℝ)  f(x)=sin x e g(x)=cos x são ortogonais e ||f||=π^1/2.

29ª Aula - Aplicações de Ortogonalidade e Projecções Ortogonais: optimização, quadrados mínimos, regressão linear, equações cartesianas de planos-k.

23 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Teorema de Aproximação de vectores x por elementos de subespaços lineares S de espaços euclidianos V com decomposição em soma directa V=S⊕S^⊥: existe um único elementos de S a distância mínima de x , que é a projecção ortogonal de x em S (prova: Fórmula de Pitágoras).

Aplicações de ortogonalidade a sistemas de equações lineares:
(1) Soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares em ℝⁿ e ℂⁿ (mesmo para sistemas impossíveis);
(2) Regressão Linear (ajuste de planos-k em em ℝⁿ e ℂⁿa pontos dados, aproximação por transformação linear somada a constante);
(3) Equações cartesianas de planos-k em ℝⁿ e ℂⁿ.

10ª Aula prática

20 novembro 2015, 09:30 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre produtos internos.

10ª Aula prática

20 novembro 2015, 08:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre produtos internos.