6ª Aula - Continuação de inversão de matrizes por blocos. Condição necessária e suficiente para matriz ser regular. Eficiência computacional da eliminação de Gauss e sucessiva melhoria. Notas históricas sobre sistemas de equações lineares, eliminação de Gauss e matrizes. Motivação para definição de espaços lineares.

24 setembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Inversão de matrizes com 4 blocos de matrizes quadradas (desde que um bloco na diagonal principal de blocos tenha inversa assim como outra matriz obtida por operações adequadas dos 4 blocos e da inversa do bloco na diagonal principal de blocos referido).

Aplicação ao caso de matrizes 2x2: condição geral de invertibilidade (produtos das componentes na diagonal principal e das componentes fora da diagonal principal diferentes) e cálculo geral da inversa (recíproco da diferença desses produtos multiplicado pela matriz obtida trocando as componentes na diagonal principal e mudando de sinal as outras componentes).

Condição necessária e suficiente para matriz nxn ser regular: as n submatrizes kxk com elementos das 1ªs k linhas e colunas têm inversa.

Eficiência computacional do método de eliminação de Gauss. Ordem assimptótica do nº de multiplicações e de adições de nºs reais com matrizes genéricas nxn: resolução de sistemas de equações n³/3; inversão de matriz n³; multiplicação directa de matrizes n³. Referência a escolha de pivots e a escalamento de linhas ou colunas para maior precisão quando há pivots muito pequenos, considerados em Análise Numérica.

Métodos computacionais de elevada deficiência para produto de matrizes (logo, também resolução de sistemas de equações lineares e inversão de matrizes) do tipo de Método de Strassen (1967): ordem assimptótica de nº de operações de nºs reais para matrizes nxn genéricas n^2,807=n^log2⁷. Melhorias sucessivas em 1978-1987, 2010, 2011 e 2014 (n^2,3728639, F. Le Gall).

Notas históricas sobre sistemas de equações lineares, eliminação de Gauss e matrizes.

Motivação para definição de espaços lineares.

2ª Aula prática

23 setembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre o método de eliminação de Gauss e multiplicação de matrizes.

2ª Aula prática

22 setembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre o método de eliminação de Gauss e multiplicação de matrizes.

5ª Aula - Inversas de matrizes quadradas: definição e propriedades gerais. Eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan para inversão de matrizes. Matrizes com diagonal dominante e condição suficiente para invertibilidade de matriz.

22 setembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Inversas de matrizes quadradas: definição, unicidade, matrizes não singulares.

Exemplos de cálculo de inversas de matrizes de permutação, elementares, diagonais e triangulares (uma matriz triangular tem inversa se e só se os elementos na diagonal principal são ≠0 ).

Produtos finitos de matrizes com inversas A₁...A_N têm inversas (A₁...A_N)^-1=A_N^-1...A₁^-1.

A inversa de uma matriz não singular tem inversa e (A^-1)^-1=A .

A transposta de uma matriz não singular tem inversa (A^t)^-1=(A^-1)^t .

Uma matriz nxn A tem inversa se e só se cada sistema de equações lineares A x=b tem solução única para cada b nx1; a solução é x=A^-1b .

Uma matriz nxn tem inversa se e só se eliminação de Gauss dá n pivots; A^-1 é a solução X de AX=I_n .

Exemplos de determinação se uma matriz tem inversa por eliminação de Gauss.

Cálculo de inversas de matrizes por eliminação de Gauss e por eliminação de Gauss-Jordan. Exemplo.

Definição: Matrizes com diagonal (estritamente) dominante (por linhas, por colunas, por linhas ou colunas).

Proposição (condição suficiente para existência de inversa): Se uma matriz quadrada tem diagonal estritamente dominante é não singular. Exemplos de aplicação (directa e indirecta).

4ª Aula - Matrizes de permutação, elementares, triangulares, diagonais, regulares. Factorização triangular de matrizes.

21 setembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Exemplos de matrizes elementares. Matrizes elementares podem não comutar ou comutar. As componentes fora da diagonal principal de um produto sucessivo de matrizes elementares numa ordem de factores da esquerda para a direita que é subordem da ordem das operações na eliminação de Gauss (por colunas da esquerda para a direita e em cada coluna de cima para baixo por linhas abaixo da correspondente à diagonal principal) são as correspondentes componentes dos factores (com outras ordens pode ser falso). 

Inversão de operações elementares e de permutações de pares de linhas (E(c)^-1=E(-c), P_ij^-1=P_ij).  Se X, Y são matrizes elementares ou de permutação, (XY)^-1=Y^-1X^-1. Inversão de qualquer matriz de permutação P: P^-1=P^t. 

Matrizes triangulares superiores e triangulares inferiores. As matrizes elementares e respectivas inversas são triangulares inferiores com 1s na diagonal principal. Produtos de matrizes triangulares superiores (resp. inferiores) são triangulares superiores (resp. inferiores).

Matrizes diagonais. Produtos de matrizes diagonais por matrizes (à esquerda e direita). Exemplos.

Definição de matriz regular. Factorização triangular de matrizes regulares (A=LDU) . Unicidade da factorização triangular. Factorização triangular de qualquer matriz (PA=LU). Factorização triangular em computação numérica.